Gazeta matematică 2015

Gazeta Matematică 1/2015

Clasa a X-a

27020 (Gheorghe Szöllösy)

Să se calculeze suma $\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n}{2}}\right]}{\frac {1}{4^{k}\cdot (k!)^{2}(n-2k)!}},\quad n\geq 1.$

Clasa a XI-a

27022 (Guntter Gotha)

Fie $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea lui Darboux și cu $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)>0$. Mulțimea $M=\left\{x\in \left[a,b\right]\,|\,f\left(x\right)=0\right\}$ este finită și are un număr impar de elemente. Demonstrați că $f$ are un punct de extrem local ce aparține mulțimii $M$.

Clasa a XII-a

27024 (Gheorghe Szöllösy)

Fie $I_{n}=\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos nx}{13-12\cos x}}\,dx,n\geq 0.$ Să se calculeze $\lim _{n\to \infty }(I_{0}+I_{1}+I_{2}+\ldots +I_{n}).$

Gazeta Matematică 2/2015

Clasa a XI-a

27036 (Radu Pop)

Să se determine funcțiile derivabile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietățile:

a) $f^{\prime }$ este funcție strict crescătoare;

b) $f^{\prime }(0)=0;$

c) $f(yf^{\prime }(x))+f(x)f(y)=xyf^{\prime }(x)f^{\prime }(y)$, oricare ar fi $x,y\in \mathbb {R}$.