|
|
| (4 intermediate revisions by the same user not shown) |
| Line 3: |
Line 3: |
| ''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.'' | | ''Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma <math>2015</math>.'' |
|
| |
|
| '''Soluția 1''' | | '''Soluția 1.''' (aici poate fi consultată o altă soluție '''[[S:E15.208-sol2]])''' |
| | |
| Fie <math>a\in \mathbb{N}</math> și <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numere naturale pentru care <math display="block">\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.</math> | | Fie <math>a\in \mathbb{N}</math> și <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numere naturale pentru care <math display="block">\left(a+1\right) + \left(a+2\right)+\ldots+\left(a+N\right)=2015.</math> |
| În mod echivalent, se obține <math display="block">Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015,</math> deci | | În mod echivalent, se obține <math display="block">Na+\left(1+2+\ldots+N\right)=2015,</math> deci |
| Line 9: |
Line 10: |
| N\cdot\left(2a+1+N\right) = 2\cdot2015. | | N\cdot\left(2a+1+N\right) = 2\cdot2015. |
| </math> | | </math> |
| Din <math>a\ge 0</math>, avem <math>N\left(N+1\right)\le N\left(2a+1+N\right) = 2024</math>. Cum <math>63\cdot 64 \le 4030 \le 64\cdot 65</math>, se deduce că <math>N\le 63</math>.
| | Din <math>a\ge 0</math>, avem <math>N\left(N+1\right)\le N\left(2a+1+N\right) = 2024</math>. Cum <math>63\cdot 64 \le 4030 \le 64\cdot 65</math>, se deduce că <math>N\le 63</math>. |
|
| |
|
| Din <math>N | 4030</math> și <math>N\le 63</math> rezultă <math>N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}</math>. | | Din <math>N | 4030</math> și <math>N\le 63</math> rezultă <math>N\in \left\{2,5,10,13,26,31, 62 \right\}</math>. |
| Line 48: |
Line 49: |
| </math> | | </math> |
|
| |
|
| '''Soluția 2'''
| | Aici poate fi consultată o altă soluție [[S:E15.208-sol2]] |
| | |
| Fie <math>N\in \mathbb{N}\setminus\left\{0,1\right\}</math> numărul de termeni ai sumei.
| |
| | |
| Cum suma a <math>4n</math> numere consecutive este un număr par, iar <math>2015</math> este număr impar, deducem că <math>4 \nmid N</math>.
| |
| | |
| Pentru <math>N=4n+2</math>, cu <math>n\in\mathbb{N}</math>, suma se poate scrie
| |
| <math display="block">\left(b-2n\right)+\left(b-2n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right) + b + \left(b+1\right)+\left(b+1\right)+\ldots+\left(b+2n\right) + \left(a+2n+1\right)=2015,</math>unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge 2n</math>. Se obține<math display="block">\left(2n+1\right)\left(2b+1\right)=1\cdot 5 \cdot 13 \cdot 31.</math>
| |
| | |
| Pentru <math>2n+1=1</math> se obține <math>b=1007</math> și suma<math display="block">
| |
| 1007+1008=2015.
| |
| </math>Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=201</math> și suma <math display="block">
| |
| 197+198+\ldots+206=2015.
| |
| </math>Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=77</math> și suma <math display="block">
| |
| 65+66+\ldots+67=2015.
| |
| </math>Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=32</math> și suma <math display="block">
| |
| 2+3+\ldots+63=2015.
| |
| </math>Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge 2n</math>.
| |
| | |
| | |
| Pentru <math>N=2n+1</math>, cu <math>n\in \mathbb{N}^\ast</math>, suma se poate scrie
| |
| <math display="block">\left(b-n\right)+\left(b-n+1\right)+\ldots+\left(b-1\right)+b+\left(b+1\right)+\left(b+2\right)+\ldots+\left(b+n\right)=2015,</math>unde <math>b\in \mathbb{N}</math>, cu <math>b\ge n</math>.
| |
| | |
| Se obține <math display="block">\left(2n+1\right)\cdot b = 5 \cdot 13\cdot 31.</math>
| |
| | |
| Pentru <math>2n+1=5</math> se obține <math>b=403</math> și suma <math display="block">
| |
| 401+402+403+404+405=2015.
| |
| </math>Pentru <math>2n+1=13</math> se obține <math>b=155</math> și suma <math display="block">
| |
| 149+150+\ldots+161=2015.
| |
| </math>Pentru <math>2n+1=31</math> se obține <math>b=65</math> și suma <math display="block">
| |
| 50+51+\ldots+80=2015.
| |
| </math>Celelalte situații posibile nu satisfac condiția <math>b\ge n</math>.
| |
S:E15.208 (Angela Lopată)
Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma 
.
Soluția 1. (aici poate fi consultată o altă soluție S:E15.208-sol2)
Fie 
și 
numere naturale pentru care
În mod echivalent, se obține
deci
Din
, avem
. Cum
, se deduce că
.
Din 
și rezultă 
.
Pentru 
se obține 
, cu 
. Deci avem suma de două numere consecutive
Pentru 
se obține 
, cu 
. Deci avem suma de 
numere consecutive
Pentru 
se obține 
, cu 
. Deci avem suma de 
numere consecutive
Pentru 
se obține 
, cu 
. Deci avem suma cu 
termeni, numere consecutive
Pentru 
se obține 
, cu 
. Deci avem suma de 
de numere consecutive
Pentru 
se obține 
, cu 
. Deci avem suma de 
de numere consecutive
Pentru 
se obține 
, cu 
. Deci avem suma de 
de numere consecutive
Aici poate fi consultată o altă soluție S:E15.208-sol2
