Problema 2

Autori

• Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara
• Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București

Enunț

  Determinați toate numerele naturale $n\geq 3$ pentru care există $a_{1},a_{2},...,a_{n+2}$ numere reale, astfel încât $a_{n+1}=a_{1}$, $a_{n+2}=a_{2}$ și $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$, pentru $i=1,2,...,n$.

Soluție

  Vom prezenta o soluție asemănătoare cu cea dată în concurs de Edis, Ciprian și loan. Vom arăta că numerele căutate sunt multiplii lui 3. Să observăm de la început că putem prelungi șirul la unul infinit, periodic de perioadă $n$.
  Dacă $n$ este divizibil cu 3, atunci o soluție este

$(a_{1},a_{2},...)=(-1,-1,2,-1,-1,2,...)$

.

  Nu există în șir un termen $a_{i}=0$. Altfel, începând cu rangul $i+2$ șirul este strict crescător (se demonstrează ușor prin inducție), contrazicând periodicitatea. Începând cu termenul $a_{i}+1$, sirul este $(1,1,2,3,7,22,..)$.
  Nu există doi termeni consecutivi $a_{i}$ și $a_{i+1}$ din șir care să fie strict pozitivi. Altfel, $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}>1$ și prin inducție se arată că (începând cu $a_{i+3}$) șirul este strict crescător, contrazicând periodicitatea.
  Este clar că după doi termeni consecutivi negativi $a_{i}$ și $a_{i+1}$ urmează un termen pozitiv: $a_{i+2}=a_{i}a_{i+1}+1>1>0$.
  Nu este posibil ca termenii șirului să alterneze in semn. Presupunem că $a_{i}$ este negativ, $a_{i+1}$ pozitiv, $a_{i+2}$ este negativ iar $a_{i+3}$ din nou pozitiv. Atunci $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}<0<a_{i+3}=a_{i+1}a_{i+2}+1$. Deoarece $a_{i+1}>0$ rezultă că $a_{i}<a_{i+2}$. Am arătat că termenii negativi formează un subșir strict crescător, ceea ce este din nou o contradicție.
  A mai rămas doar un singur caz de studiat: există doi termeni consecutivi negativi în șir. Presupunem că $a_{i}$ și $a_{i+1}$ sunt strict negativi. Atunci $a_{i+2}=a_{i}a_{i+1}+1>1$. Evident numărul $a_{i+3}$ trebuie să fie negativ. Arătăm că $a_{i+4}$ trebuie să fie tot negativ. Observăm mai întâi că, deoarece $a_{i+3}$ este negativ, avem $a_{i+4}=a_{i+2}a_{i+3}+1<1<a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$. De aici obținem

$a_{i+5}-a_{i+4}=(a_{i+3}a_{i+4}+1)-(a_{i+2}a_{i+3}+1)=a_{i+3}(a_{i+4}-a_{i+2})>0$,

și deci $a_{i+5}>a_{i+4}$. Cum nu pot exista doi termeni consecutivi strict pozitivi, rezultă că $a_{i+4}$ trebuie să fie negativ.
  Astfel $a_{i+3}$ și $a_{i+4}$ sunt negativi iar $a_{i+5}$ este pozitiv, și deci după doi termeni negativi și unul pozitiv, următorii trei vor repeta aceeași ordine a semnelor. În concluzie $n$ trebuie să fie multiplu de trei.