Problema 2

Autori

Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara
Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București

Enunț

Determinați toate numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 3} pentru care există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1, a_2, . . . ,a_{n+2}} numere reale, astfel încât $a_{n+1}=a_{1}$ , $a_{n+2}=a_{2}$ și $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$ , pentru $i=1,2,...,n$ .

Soluție

Vom prezenta o soluție asemănătoare cu cea dată în concurs de Edis, Ciprian și loan. Vom arăta că numerele căutate sunt multiplii lui 3. Să observăm de la început că putem prelungi șirul la unul infinit, periodic de perioadă $n$ .
Dacă $n$ este divizibil cu 3, atunci o soluție este

(a_{1},a_{2},...)=(-1,-1,2,-1,-1,2,...)

.

Nu există în șir un termen $a_{i}=0$ . Altfel, începând cu rangul $i+2$ șirul este strict crescător (se demonstrează ușor prin inducție), contrazicând periodicitatea. Începând cu termenul $a_{i}+1$ , sirul este $(1,1,2,3,7,22,..)$ .
Nu există doi termeni consecutivi $a_{i}$ și $a_{i+1}$ din șir care să fie strict pozitivi. Altfel, $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}>1$ și prin inducție se arată că (începând cu $a_{i+3}$ ) șirul este strict crescător, contrazicând periodicitatea.
Este clar că după doi termeni consecutivi negativi $a_{i}$ și $a_{i+1}$ urmează un termen pozitiv: $a_{i+2}=a_{i}a_{i+1}+1>1>0$ .
Nu este posibil ca termenii șirului să alterneze in semn. Presupunem că $a_{i}$ este negativ, $a_{i+1}$ pozitiv, $a_{i+2}$ este negativ iar $a_{i+3}$ din nou pozitiv. Atunci $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}<0<a_{i+3}=a_{i+1}a_{i+2}+1$ . Deoarece $a_{i+1}>0$ rezultă că $a_{i}<a_{i+2}$ . Am arătat că termenii negativi formează un subșir strict crescător, ceea ce este din nou o contradicție.
A mai rămas doar un singur caz de studiat: există doi termeni consecutivi negativi în șir. Presupunem că $a_{i}$ și $a_{i+1}$ sunt strict negativi. Atunci $a_{i+2}=a_{i}a_{i+1}+1>1$ . Evident numărul $a_{i+3}$ trebuie să fie negativ. Arătăm că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i+4}} trebuie să fie tot negativ. Observăm mai întâi că, deoarece Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i+3}} este negativ, avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i+4} = a_{i+2} a_{i+3} + 1 < 1 < a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}} . De aici obținem

Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i+5}-a_{i+4} = (a_{i+3} a_{i+4} + 1) - (a_{i+2} a_{i+3} + 1) = a_{i+3}(a_{i+4}-a_{i+2}) > 0} ,

și deci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i+5} > a_{i+4}} . Cum nu pot exista doi termeni consecutivi strict pozitivi, rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i+4}} trebuie să fie negativ.
Astfel Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i+3}} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i+4}} sunt negativi iar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{i+5}} este pozitiv, și deci după doi termeni negativi și unul pozitiv, următorii trei vor repeta aceeași ordine a semnelor. În concluzie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} trebuie să fie multiplu de trei.