Problema 1
Autori
- Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara
- Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București
Enunț
Fie Γ cercul circumscris unui triunghi ascuțitunghic ABC. Punctele D și E se află pe segmentele AB și respectiv AC, astfel încât AD = AE.Mediatoarele segmentelor BD și CE intersectează arcele mici AB și AC ale cercului Γ în punctele F și respectiv G. Demonstrați că dreptele DE și FG sunt paralele sau coincid.
Soluție
Vom prezenta soluția dată în concurs de Edis.
Pe arcele mici Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overset{\frown}{AB}}
și respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overset{\frown}{AC}}
ale cercului Γ considerăm punctele X și respectiv Y, astfel incât AX = AD = AE = AY.
Deoarece și AX = AD, rezultă ușor că punctul X este simetricul
lui D față de dreapta FA. De aici rezultă că FX = FD = FB.
Fie al doilea punct de intersecție al dreptei XE cu cercul Γ.
Deoarece AX = AE iar patrulaterul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle XAG^\prime C}
este inscriptibil, rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \measuredangle XEA = 90^\circ - \dfrac{1}{2} \measuredangle XAE = 90^\circ -\dfrac{1}{2}\measuredangle XAC = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle XG^\prime C}
.
Obținem astfel că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \measuredangle G^\prime EC$ = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle EG^\prime C}
și deci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle EG^\prime = CG^\prime}
, adică Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G^\prime = G}
. Așadar punctele X,E și G sunt coliniare. Analog se arată că Y, D și F sunt coliniare.
Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{O\} = EX \cap DY = GE \cap FD }
. Atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \measuredangle OED = \dfrac{1}{2}\measuredangle XAD = \measuredangle FAD = \measuredangle FGB}
. Din FB = FX obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \measuredangle FGB = \measuredangle FXB = \measuredangle FBX = \measuredangle EGF}
. În final, avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \measuredangle OED = \measuredangle FGB = \measuredangle OGF}
și deci dreptele DE și FG sunt paralele sau coincid, ceea ce trebuia demonstrat.
Ionuț a folosit o inversiune de centru A și putere arbitrară și a demonstrat că centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AD^\prime E^\prime}
și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AF^\prime G^\prime}
se află pe dreapta AX, unde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{X\} = F^\prime D^\prime AG^\prime E^\prime}
(am notat cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ^\prime}
transformatele prin inversiune).
Ciprian a arătat că arcele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overset{\frown}{NF}}
și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overset{\frown}{MG}}
sunt egale, unde N și M sunt mijloacele arcelor mici Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overset{\frown}{AB}}
și respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overset{\frown}{AC}}
.
Antonie a demonstrat că locul geometric al lui Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{P\} = SF \cap GT}
, când D variază, se află pe dreapta paralelă la bisectoarea interioară a unghiului A și care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Aici am notat cu S și respectiv T mijloacele segmentelor BD și respectiv CE.
Mihnea și Radu au folosit numere complexe.
Echipa României a obținut 41 de puncte la această problemă. Mihnea a pierdut un punct din cauza unei greșeli minore la calculele cu numere complexe.
Enunț
Determinați toate numerele naturale Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \ge 3} pentru care există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_1, a_2, . . . ,a_{n+2}} numere reale, astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+1} = a_1} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_{n+2} = a_2} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}} , pentru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i = 1,2,...,n} .
Soluție
Vom prezenta o soluție asemănătoare cu cea dată în concurs de Edis, Ciprian și loan. Vom arăta că numerele căutate sunt multiplii lui 3. Să observăm de la început că putem prelungi șirul la unul infinit, periodic de perioadă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n}
.
Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n}
este divizibil cu 3, atunci o soluție este
.
Nu există în șir un termen Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_i = 0}
. Altfel, începând cu rangul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i + 2}
șirul este strict crescător (se demonstrează ușor prin inducție), contrazicând periodicitatea. Începând cu termenul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_i+1}
, sirul este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1, 1,2,3, 7, 22, . . )}
.