E:14742

E:14742 (Liliana Puț)

a) Arătați că oricare ar fi numerele reale $a$ , $b$ , $c$ avem

|a+b|+|a+c|\geq |b-c|.

b) Demonstrați că pentru orice număr real $x$ avem

|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2014|\geq 1007^{2}.

Soluție

a) Arătăm că $|x|+|y|\geq |x-y|$ , (1).

Cum $|x-y|=|y-x|$ , relația (1) este simetrică în $x$ și $y$ și este suficient să analizăm cazul $x\geq y$ . Mai mult, deoarece $|x|=|-x|$ , vom analiza numai cazul $x\geq 0$ și $y\geq 0$ . În acest caz, inegalitate $x+y\geq x-y$ conduce la $y\geq 0$ , care este adevărată. Luând $x=a+b$ și $y=a+c$ , obținem inegalitatea din enunț.