E:14223

E:14223 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie un triunghi isoscel cu $r$ = 3 cm și $P$ = 32 cm (unde $r$ reprezintă raza cercului înscris în triunghi, iar $P$ reprezintă perimetrul triunghiului). Calculați lungimile laturilor triunghiului, știind că acestea sunt numere naturale.

Soluție: Dacă $S$ este aria triunghiului, atunci $S={\frac {P\cdot r}{2}}=48cm^{2}$, (1)

Fie $ABC$ triunghiul dat, $AD$ înălțimea triunghiului, $AB=AC=x$ și $BC=y$. Atunci $AD={\sqrt {\frac {4x^{2}-y^{2}}{4}}}$ și $S={\frac {{\sqrt {4x^{2}-y^{2}}}\cdot y}{4}}$, (2)

și din $P=2x+y$, avem $y=32-2x$, (3)

Din cele 3 relații obținem ${\sqrt {4x^{2}-(32-2x)^{2}}}\cdot (32-2x)=4\cdot 48$ care, prin ridicare la pătrat, conduce la $(16-x)^{2}\cdot (x-8)=72.$

De aici obținem $x=10cm$ și $y=12cm$.