E:14223

E:14223 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie un triunghi isoscel cu $r$ = 3 cm și $P$ = 32 cm (unde Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r} reprezintă raza cercului înscris în triunghi, iar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} reprezintă perimetrul triunghiului). Calculați lungimile laturilor triunghiului, știind că acestea sunt numere naturale.

Soluție: Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S} este aria triunghiului, atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = \frac{{P \cdot r}}{2} = 48 cm^2} , (1)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} triunghiul dat, $AD$ înălțimea triunghiului, $AB=AC=x$ și $BC=y$. Atunci $AD={\sqrt {\frac {4x^{2}-y^{2}}{4}}}$ și $S={\frac {{\sqrt {4x^{2}-y^{2}}}\cdot y}{4}}$, (2)

și din $P=2x+y$, avem $y=32-2x$, (3)

Din cele 3 relații obținem ${\sqrt {4x^{2}-(32-2x)^{2}}}\cdot (32-2x)=4\cdot 48$ care, prin ridicare la pătrat, conduce la $(16-x)^{2}\cdot (x-8)=72.$

De aici obținem $x=10cm$ și $y=12cm$.