3758 - inno
Se dau numerele naturale n
și k
, precum și un șir a[1]
, a[2]
,…, a[n]
de numere naturale nenule. Din șir de poate elimina o singură secvență (eventual vidă) a[i]
, a[i+1]
, …, a[j]
astfel că în șir rămân elementele a[1]
, a[2]
, …, a[i-1]
, a[j+1]
, …, a[n]
.
De exemplu, din șirul a=(1,2,3,4,5,7)
se poate elimina secvența 3,4,5
și rămâne 1,2,7
; sau se poate elimina secvența vidă și rămâne șirul inițial 1,2,3,4,5,7
; sau se poate elimina 1,2,3,4
și rămâne șirul 5,7
.
După eliminarea secvenței, elementele rămase formează un șir inno dacă aplicându-se operația &
pe biți asupra lor rezultatul este un număr care are cel puțin k
biți de 1
în baza 2
. De exemplu, dacă a=(1,2,3,4,5,7)
și k=2
, atunci prin eliminarea secvenței 1,2,3,4
rămân elementele 5,7
, iar 5 & 7 = 5
, care are 2
biți de 1
în baza 2
. Dar dacă se elimină secvența 3,4,5
atunci rămân elementele 1,2,7
, iar 1 & 2 & 7 = 0
, deci nu este șir inno.
Cerința
Să se determine în câte moduri se poate elimina o secvență astfel încât elementele rămase să formeze șir inno.
Date de intrare
Fișierul de intrare input.txt
conține pe prima linie numerele naturale n
și k
. Pe linia a doua se află n
numere naturale reprezentând elementele șirului.
Date de ieșire
Fișierul de ieșire output.txt
va conține pe prima linie un singur număr natural reprezentând numărul de moduri de a elimina o secvență astfel încât șirul rămas să fie inno.
Restricții și precizări
3 ≤ n ≤ 200.000
;1 ≤ k ≤ 29
;
Exemplul 1
input.txt:
4 2
10 7 5 15
output.txt:
5
Explicație:
Modalitățile sunt:
- se elimină 10
și rămâne șirul 7 5 15
, iar 7 & 5 & 15 = 5
, care are 2
biți de 1
- se elimină 10 7
și rămâne șirul 5 15
, iar 5 & 15 = 5
, care are 2
biți de 1
- se elimină 10 7 5
și rămâne șirul 15
, iar 15
are 4
biți de 1
- se elimină 7 5
și rămâne șirul 10 15
, iar 10 & 15 = 10
are 2
biți de 1
- se elimină 7 5 15
și rămâne șirul 10
, iar 10
are 2
biți de 1
Exemplul 2
input.txt:
5 4
7 7 6 1 62
output.txt:
1
Explicație:
Singura posibilitate este eliminarea secvenței 7 7 6 1
. Rămâne doar numărul 62
, care are 5
biți de 1
.
Exemplul 3
input.txt:
999999999999 4
7 7 6 1 62
Output:
Invalid input constraints.
Rezolvare
def verify_constraints(n, k):
if not (3 <= n <= 200000 and 1 <= k <= 29):
print("Invalid input constraints.")
exit()
def count_bit(v):
v = v - ((v >> 1) & 0x55555555)
v = (v & 0x33333333) + ((v >> 2) & 0x33333333)
c = ((v + (v >> 4) & 0xF0F0F0F) * 0x1010101) >> 24
return c
def bsearch(p, u, key, k):
m = 0
while p < u:
m = (p + u) // 2
if dr[m] & key < k:
p = m + 1
else:
u = m
m = (p + u) // 2
if dr[m] & key < k:
m += 1
return m
with open("input.txt", "r") as fin, open("output.txt", "w") as fout:
n, k = map(int, fin.readline().split())
verify_constraints(n,k)
a = [0] + list(map(int, fin.readline().split()))
st = [0] * (n + 1)
dr = [0] * (n + 1)
x = -1
y = 0
val = 0
sol = 0
st[1] = a[1]
dr[n] = a[n]
for i in range(2, n + 1):
st[i] = st[i - 1] & a[i]
for i in range(n - 1, 0, -1):
dr[i] = dr[i + 1] & a[i]
if count_bit(st[1]) < k:
x = 0
if count_bit(dr[n]) < k:
y = n + 1
if x < 0:
x = 1
i = 2
while i <= n:
if count_bit(st[i]) >= k:
x = i
i += 1
if not y:
y = n
i = n - 1
while i >= 1:
if count_bit(dr[i]) >= k:
y = i
i -= 1
if x == n:
fout.write(str(n * (n + 1) // 2))
elif x == 0 and y == n + 1:
fout.write("0")
elif 1 <= x < n and y == n + 1:
fout.write(str(x))
elif x == 0 and 1 < y <= n:
fout.write(str(n - y + 1))
elif x == 0 and y == 0:
fout.write("1")
else:
sol = n - y + 1
for i in range(1, x + 1):
val = bsearch(y, n, st[i], k)
sol += (n - val + 2)
fout.write(str(sol))