2439 - T Bile

Roboțelul Nino a primit cadou un dispozitiv care inscripționează bile. Dispozitivul poate fi încărcat cu n bile, ce vor fi inscripționate în ordine, cu numerele 1, 2, …, n.

Nino trebuie să împartă bilele inscripționate în două șiruri, X și Y, astfel:

- La primul pas Nino va pune în primul șir bila cu numărul 1 (X[1] = 1), iar în al doilea șir bila cu numărul 2 (Y[1] = 2).

- La al doilea pas Nino va pune în primul șir bila cu numărul 3 (X[2] = 3), iar în al doilea șir bila cu numărul 4 (Y[2] = 4).

- La fiecare pas i ≥ 3 Nino va pune în șirul X bila X[i] = X[i-1] + Y[i-1], iar în șirul Y, în ordine crescătoare, bilele numerotate cu X[i-1]+1, X[i-1]+2, …, X[i]-1, cu excepția bilei 4 care a fost pusă deja.

Dacă la un pas k, X[k] > n, bilele rămase vor fi inscripționate cu valorile X[k-1]+1, X[k-1]+2, …, n și vor fi puse în șirul Y.

Pentru că bilele se rostogolesc, Nino împachetează în tuburi verticale de culoare galbenă, bilele din primul șir, iar în tuburi verticale de culoare roșie, bilele din al doilea șir. În fiecare tub încap cel mult m bile, dispuse pe o singură coloană. Tuburile sunt așezate vertical, întâi cele galbene, în ordinea umplerii, apoi cele roșii în ordinea umplerii lor. Bilele de la baza fiecărui tub formează nivelul 1, cele situate imediat deasupra lor formează nivelul 2 etc., nivelul maxim putând fi m.

Cerința

Se dau numerele naturale n și m și se cere să se determine:

1. Numărul de tuburi de culoare roșie necesare pentru a împacheta bilele din șirul Y și numărul total de bile conținute de acestea.

2. Pentru un nivel v dat, suma numerelor inscripționate pe bilele de pe nivelul v.

Date de intrare

Fișierul de intrare tbile.in conţine pe prima linie un număr natural c reprezentând cerința care trebuie să fie rezolvată (1 sau 2), pe a doua linie un număr natural n, reprezentând numărul de bile ce se inscripționează, iar pe cea de a treia linie un număr natural m, reprezentând numărul de bile care încap într-un tub. Dacă cerința este c = 2, fișierul de intrare conține, în plus, pe a patra linie, un număr natural v reprezentând numărul unui nivel.

Date de ieșire

Dacă cerința este c = 1, atunci, pe prima linie a fișierului tbile.out, vor fi scrise două numere naturale, separate printr-un spațiu, reprezentând, în această ordine, numărul de tuburi de culoare roșie necesare pentru a împacheta bilele din șirul Y, respectiv, numărul total de bile conținute de acestea.

Dacă cerința este c = 2, atunci, pe prima linie a fișierului tbile.out va fi scris un număr natural reprezentând suma numerelor inscripționate pe bilele de pe nivelul v.

Restricții și precizări

• 5 ≤ n ≤ 2 000 000 000
• 1 ≤ c ≤ m ≤ 311445015
• Se acordă 30 de puncte pentru rezolvarea corectă a cerinței 1 și 60 de puncte pentru rezolvarea corectă a cerinței 2.
• În concurs s-au acordat 10 puncte din oficiu. Aici se acordă punctele pentru exemplele din enunț.

Exemplul 1:

tbile.in

1
36
5

tbile.out

6 29

Explicație

Primul șir va conține 7 bile (1, 3, 7, 12, 18, 26, 35), iar cel de al doilea 36-7=29 de bile (ca în figura de mai sus). Sunt necesare 6 tuburi de capacitate 5.

Exemplul 2:

tbile.in

2
36
5
3

tbile.out

126

Explicație

Pe nivelul 3 se găsesc bilele inscripționate cu numerele 7, 5, 11, 17, 23, 29 și 34. Suma acestor valori este 126.

def calculate_balls_and_tubes(n, m, v):
    # Initialize X and Y
    X = [1]
    Y = [2]
    current_num = 3

    # Build X and Y sequences
    while True:
        if len(X) < 2:
            X.append(current_num)
            current_num += 1
        else:
            next_x = X[-1] + Y[-1]
            if next_x > n:
                break
            X.append(next_x)
            for i in range(X[-2] + 1, next_x):
                if i != 4:
                    Y.append(i)
            current_num = next_x + 1

    # Add remaining balls to Y
    for i in range(X[-1] + 1, n + 1):
        if i != 4:
            Y.append(i)

    # Number of red tubes and total balls in Y
    red_tubes = (len(Y) + m - 1) // m
    total_balls_in_red_tubes = len(Y)

    # Calculate the sum of the numbers on level v
    sum_on_level_v = 0

    # Yellow tubes (X balls)
    for i in range(len(X)):
        if (i // m) + 1 == v:
            sum_on_level_v += X[i]

    # Red tubes (Y balls)
    for i in range(len(Y)):
        if (i // m) + 1 == v:
            sum_on_level_v += Y[i]

    return red_tubes, total_balls_in_red_tubes, sum_on_level_v

# Exemplu de utilizare
n = 10  # numărul total de bile
m = 3   # capacitatea unui tub
v = 2   # nivelul dorit

red_tubes, total_balls_in_red_tubes, sum_on_level_v = calculate_balls_and_tubes(n, m, v)
print(f"Numărul de tuburi roșii necesare: {red_tubes}")
print(f"Numărul total de bile din tuburile roșii: {total_balls_in_red_tubes}")
print(f"Suma numerelor inscripționate pe bilele de pe nivelul {v}: {sum_on_level_v}")