1617 - KS

Cerința

Ana şi Bogdan au inventat din nou un joc, pe care l-au denumit ks. Pe tabla de joc sunt plasate pe poziţii consecutive n jetoane, pe fiecare jeton fiind scris un număr natural nenul.

Ana este prima la mutare şi are voie să extragă de pe tablă exact k jetoane situate pe poziţii consecutive.

Bogdan mută al doilea şi are şi el voie să extragă exact k jetoane, dintre cele rămase pe tablă, situate de asemenea pe poziţii consecutive.

Punctajul asociat unei mutări este egal cu suma numerelor scrise pe jetoanele extrase la mutarea respectivă.

Scopul Anei este să efectueze mutarea sa astfel încât punctajul obţinut de Bogdan să fie cât mai mic. Considerăm că atât Ana, cât şi Bogdan joacă optim. Cunoscând numărul de jetoane de pe tabla de joc, valorile înscrise pe acestea, precum şi valoarea k, scrieţi un program care să determine care este cel mai bun punctaj pe care Bogdan îl poate obţine, ştiind că ambii jucători joacă optim.

Date de intrare

Fișierul de intrare ks.in conține pe prima linie două numere naturale separate prin spaţiu n k, având semnificaţia din enunţ. Pe cea de a doua linie se află n valori naturale nenule, separate prin câte un spaţiu, reprezentând valorile înscrise pe cele n jetoane, în ordinea în care acestea sunt plasate pe tabla de joc.

Date de ieșire

Fișierul de ieșire ks.out va conține o singură linie pe care va fi scris un număr natural reprezentând punctajul maxim pe care îl poate obţine Bogdan la mutarea sa, ştiind că ambii jucători joacă optim.

Restricții și precizări

• 3 ≤ n ≤ 100 000
• 1 ≤ k ≤ n/3
• Valorile înscrise pe jetoane sunt numere naturale nenule ≤109.
• După ce Ana extrage jetoanele sale, jetoanele rămase pe tablă îşi vor păstra poziţiile iniţiale.

Exemplu 1

Intrare

10 3
1 2 5 4 15 2 4 5 1 6

Iesire

12

Rezolvare

def main():
    # Citirea datelor de intrare
    with open("ks.in", "r") as f:
        n, k = map(int, f.readline().strip().split())
        values = list(map(int, f.readline().strip().split()))

    assert 3 <= n <= 100000, "n trebuie să fie între 3 și 100000"
    assert 1 <= k <= n // 3, "k trebuie să fie între 1 și n // 3"
    assert all(0 <= val <= 10**9 for val in values), "Valorile trebuie să fie între 0 și 10^9"

    # Inițializarea matricelor dp și sum
    dp = [0] * (n + 1)
    sum_values = [0] * (n + 1)

    # Calcularea sumelor prefix
    for i in range(n):
        sum_values[i + 1] = sum_values[i] + values[i]

    # Programare dinamică pentru a calcula punctajele maxime
    for i in range(n - k, -1, -1):
        dp[i] = sum_values[i + k] - sum_values[i]
        if i + k < n:
            dp[i] += sum_values[n] - sum_values[i + k] - dp[i + k]

    # Determinarea punctajului maxim pe care îl poate obține Bogdan
    max_score_bogdan = 0
    for i in range(n - k + 1):
        max_score_bogdan = max(max_score_bogdan/2, dp[i])

    # Afișarea rezultatului
    with open("ks.out", "w") as f:
        f.write(f"{max_score_bogdan}\n")

if __name__ == "__main__":
    main()