Problema 1

Autori

• Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara
• Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București

Enunț

Fie Γ cercul circumscris unui triunghi ascuțitunghic ABC. Punctele D și E se află pe segmentele AB și respectiv AC, astfel încât AD = AE.Mediatoarele segmentelor BD și CE intersectează arcele mici AB și AC ale cercului Γ în punctele F și respectiv G. Demonstrați că dreptele DE și FG sunt paralele sau coincid.

File:Cerc.jpg

Diagrama

Soluție

Vom prezenta soluția dată în concurs de Edis. Pe arcele mici ${\overset {\frown }{AB}}$ și respectiv ${\overset {\frown }{AC}}$ ale cercului Γ considerăm punctele X și respectiv Y, astfel incât AX = AD = AE = AY.
  Deoarece $\measuredangle FXA=180^{\circ }-\measuredangle FCA=180^{\circ }-\measuredangle FBD=180^{\circ }-\measuredangle FDB=\measuredangle FDA$ și AX = AD, rezultă ușor că punctul X este simetricul lui D față de dreapta FA. De aici rezultă că FX = FD = FB.
  Fie $G^{\prime }$ al doilea punct de intersecție al dreptei XE cu cercul Γ.
Deoarece AX = AE iar patrulaterul $XAG^{\prime }C$ este inscriptibil, rezultă că $\measuredangle XEA=90^{\circ }-{\dfrac {1}{2}}\measuredangle XAE=90^{\circ }-{\dfrac {1}{2}}\measuredangle XAC=90^{\circ }-{\dfrac {1}{2}}\measuredangle XG^{\prime }C$. Obținem astfel că $\measuredangle G^{\prime }EC\$=90^{\circ }-{\dfrac {1}{2}}\measuredangle EG^{\prime }C$ și deci $EG^{\prime }=CG^{\prime }$, adică $G^{\prime }=G$. Așadar punctele X,E și G sunt coliniare. Analog se arată că Y, D și F sunt coliniare.
  Fie $\{O\}=EX\cap DY=GE\cap FD$. Atunci $\measuredangle OED={\dfrac {1}{2}}\measuredangle XAD=\measuredangle FAD=\measuredangle FGB$. Din FB = FX obținem $\measuredangle FGB=\measuredangle FXB=\measuredangle FBX=\measuredangle EGF$. În final, avem $\measuredangle OED=\measuredangle FGB=\measuredangle OGF$ și deci dreptele DE și FG sunt paralele sau coincid, ceea ce trebuia demonstrat.
   Ionuț a folosit o inversiune de centru A și putere arbitrară și a demonstrat că centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor $AD^{\prime }E^{\prime }$ și $AF^{\prime }G^{\prime }$ se află pe dreapta AX, unde $\{X\}=F^{\prime }D^{\prime }AG^{\prime }E^{\prime }$ (am notat cu $^{\prime }$ transformatele prin inversiune).
   Ciprian a arătat că arcele ${\overset {\frown }{NF}}$ și ${\overset {\frown }{MG}}$ sunt egale, unde N și M sunt mijloacele arcelor mici ${\overset {\frown }{AB}}$ și respectiv ${\overset {\frown }{AC}}$.
   Antonie a demonstrat că locul geometric al lui $\{P\}=SF\cap GT$, când D variază, se află pe dreapta paralelă la bisectoarea interioară a unghiului A și care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Aici am notat cu S și respectiv T mijloacele segmentelor BD și respectiv CE.
   Mihnea și Radu au folosit numere complexe.
   Echipa României a obținut 41 de puncte la această problemă. Mihnea a pierdut un punct din cauza unei greșeli minore la calculele cu numere complexe.

Enunț

  Determinați toate numerele naturale $n\geq 3$ pentru care există $a_{1},a_{2},...,a_{n+2}$ numere reale, astfel încât $a_{n+1}=a_{1}$, $a_{n+2}=a_{2}$ și $a_{i}a_{i+1}+1=a_{i+2}$, pentru $i=1,2,...,n$.

Soluție

  Vom prezenta o soluție asemănătoare cu cea dată în concurs de Edis, Ciprian și loan. Vom arăta că numerele căutate sunt multiplii lui 3. Să observăm de la început că putem prelungi șirul la unul infinit, periodic de perioadă $n$.
  Dacă $n$ este divizibil cu 3, atunci o soluție este

$(a_{1},a_{2},...)=(-1,-1,2,-1,-1,2,...)$

.

  Nu există în șir un termen $a_{i}=0$. Altfel, începând cu rangul $i+2$ șirul este strict crescător (se demonstrează ușor prin inducție), contrazicând periodicitatea. Începând cu termenul $a_{i}+1$, sirul este $(1,1,2,3,7,22,..)$.