Vizualizare sursă pentru „E:14742”

'''E:14742 (Liliana Puț)'''

''a) Arătați că oricare ar fi numerele reale <math>a</math>, <math>b</math>, <math>c</math> avem''<math display="block">|a + b| + |a + c| \ge |b - c|.</math>''b) Demonstrați că pentru orice număr real <math>x</math> avem''<math display="block">|x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + ... + |x + 2014| \ge 1007^2.</math>

'''Soluție'''

a) Arătăm că <math>|x| + |y| \ge |x - y|</math>, (1). 

Cum <math>|x - y| = |y - x|</math>, relația (1) este simetrică în <math>x</math> și <math>y</math> și este suficient să analizăm cazul <math>x \ge y</math>. Mai mult, deoarece <math>|x| = | - x|</math>, vom analiza numai cazul <math>x \ge 0</math> și <math>y \ge 0</math>. În acest caz, inegalitate <math>x + y \ge x - y</math> conduce la <math>y \ge 0</math>, care este adevărată. Luând <math>x = a + b</math> și <math>y = a + c</math>, obținem inegalitatea din enunț.

b) Membrul stâng al inegalității are <math>2014</math> termeni. Grupăm câte doi termeni egal depărtați de capete și conform punctului a) avem <math display="block">|x + 2015 - k| + |x + k| \ge |x + 2015 - k - x - k| = 2015 - 2k,</math> pentru orice <math>k \in \{1, 3, 5, ... , 1007\}</math>. Astfel, suma este mai mare sau egală cu <math display="block">2013 + 2011 + ... + 1 = (2013 + 1) + (2011 + 3) + ... + (1009 + 1005) + 1007 = 2014 \cdot 503 + 1007 = 1007^2</math>.