Versiunea pentru tipărire nu mai este suportată și poate avea erori de randare. Vă rugăm să vă actualizați bookmarkurile browserului și să folosiți funcția implicită de tipărire a browserului.
S:L21.287 (Gheorghe Boroica)
Arătați că, pentru orice număr natural
, ecuația
are soluții în mulțimea numerelor naturale nenule.
Soluție:
Pentru
un număr impar, avem
, cu
. Atunci
![{\displaystyle 5^{n}=5^{2k+1}=5^{2k}\cdot 5=5^{2k}\cdot \left(1^{2}+1^{2}+2^{2}\right)=\left(5^{k}\right)^{2}+\left(5^{k}\right)^{2}+\left(2\cdot 5^{k}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b2dc6acbe3c5e73a44cec92102c521f6b3f22e)
deci putem alege soluția
![{\displaystyle x=5^{\frac {n-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85ae33f9ba5799d1fa2c9d32cddf49790ad0f687)
,
![{\displaystyle y=5^{\frac {n-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1318510bdbfd15b8eac4a6af98027b5a6777c2c)
și
![{\displaystyle z=2\cdot 5^{\frac {n-1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/351445ee60302984e1d8bffc976fa2b4317b395e)
.
Pentru
un număr par, avem
, cu
. Atunci
![{\displaystyle 5^{n}=5^{2k}=5^{2(k-2)}\cdot 5^{4}=5^{2(k-2)}\cdot \left(12^{2}+15^{2}+16^{2}\right)=\left(12\cdot 5^{k-2}\right)^{2}+\left(15\cdot 5^{k-2}\right)^{2}+\left(16\cdot 5^{k-2}\right)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42373c67622a53c4a843fce0c72eaf53ae2ab688)
deci putem alege soluția
![{\displaystyle x=12\cdot 5^{{\frac {n}{2}}-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/328782dcbf2a73a5b43b79079984371ee9901b99)
,
![{\displaystyle y=15\cdot 5^{{\frac {n}{2}}-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57910aeaa37663772b253ca7e2e9ac518479e5ff)
și
![{\displaystyle z=16\cdot 5^{{\frac {n}{2}}-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a1b4818a02bcd2cc819730a55fb56db7888e25c)
.
Observație: Cum
, pentru ecuația considerată se pot determina mai multe soluții.