S:L15.228

S:L15.228 (Iulian Bunu)

Fie șirul de numere reale $\left(a_{n}\right)_{n\geq 1}$, cu $a_{1}=5$, $a_{2}=7$, $a_{3}=10$ și $a_{n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n-1}-a_{n}$ pentru orice $n>3$

și $\left(b_{n}\right)_{n\geq 1}$, cu $b_{n}=\sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}$.

Calculați $\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {b_{2n}}{b_{2n+1}}}$

Soluție

Folosind inducția matematică se demonstrează că $a_{2n}=2^{n-1}$ oricare ar fi $n\geq 1$ și $a_{2n+1}=5\cdot 2^{n}$ oricare ar fi $n\geq 0$.

Avem

$$b_{2n}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{2n}=a_{2n+1}+a_{2n+2}$$

și

$$b_{2n+1}=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{2n+1}=a_{2n+2}+a_{2n+3}$$

Atunci

$$\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {b_{2n}}{b_{2n+1}}}=\lim \limits _{n\to \infty }{\dfrac {5\cdot 2^{n}+2^{n}}{2^{n}+5\cdot 2^{n+1}}}={\dfrac {6}{11}}.$$