Problema 1

Autori

• Mihai Chiș, Lector univ. dr., Universitatea de Vest Timișoara
• Cătălin Gherghe, Conf. univ. dr., Universitatea București

Enunț

Fie Γ cercul circumscris unui triunghi ascuțitunghic ABC. Punctele D și E se află pe segmentele AB și respectiv AC, astfel încât AD = AE.Mediatoarele segmentelor BD și CE intersectează arcele mici AB și AC ale cercului Γ în punctele F și respectiv G. Demonstrați că dreptele DE și FG sunt paralele sau coincid.

Fișier:Cerc.jpg

Diagrama

Soluție

Vom prezenta soluția dată în concurs de Edis. Pe arcele mici ${\overset {\frown }{AB}}$ și respectiv ${\overset {\frown }{AC}}$ ale cercului Γ considerăm punctele X și respectiv Y, astfel incât AX = AD = AE = AY.
  Deoarece $\measuredangle FXA=180^{\circ }-\measuredangle FCA=180^{\circ }-\measuredangle FBD=180^{\circ }-\measuredangle FDB=\measuredangle FDA$ și AX = AD, rezultă ușor că punctul X este simetricul lui D față de dreapta FA. De aici rezultă că FX = FD = FB.
  Fie $G^{\prime }$ al doilea punct de intersecție al dreptei XE cu cercul Γ.
Deoarece AX = AE iar patrulaterul $XAG^{\prime }C$ este inscriptibil, rezultă că Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \measuredangle XEA = 90^\circ - \dfrac{1}{2} \measuredangle XAE = 90^\circ -\dfrac{1}{2}\measuredangle XAC = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle XG^\prime C} . Obținem astfel că Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \measuredangle G^\prime EC$ = 90^\circ - \dfrac{1}{2}\measuredangle EG^\prime C} și deci Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle EG^\prime = CG^\prime} , adică Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle G^\prime = G} . Așadar punctele X,E și G sunt coliniare. Analog se arată că Y, D și F sunt coliniare.
  Fie Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \{O\} = EX \cap DY = GE \cap FD } . Atunci Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \measuredangle OED = \dfrac{1}{2}\measuredangle XAD = \measuredangle FAD = \measuredangle FGB} . Din FB = FX obținem Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \measuredangle FGB = \measuredangle FXB = \measuredangle FBX = \measuredangle EGF} . În final, avem Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \measuredangle OED = \measuredangle FGB = \measuredangle OGF} și deci dreptele DE și FG sunt paralele sau coincid, ceea ce trebuia demonstrat.
   Ionuț a folosit o inversiune de centru A și putere arbitrară și a demonstrat că centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle AD^\prime E^\prime} și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle AF^\prime G^\prime} se află pe dreapta AX, unde Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \{X\} = F^\prime D^\prime AG^\prime E^\prime} (am notat cu Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle ^\prime} transformatele prin inversiune).
   Ciprian a arătat că arcele Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overset{\frown}{NF}} și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overset{\frown}{MG}} sunt egale, unde N și M sunt mijloacele arcelor mici Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overset{\frown}{AB}} și respectiv Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \overset{\frown}{AC}} .
   Antonie a demonstrat că locul geometric al lui Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle \{P\} = SF \cap GT} , când D variază, se află pe dreapta paralelă la bisectoarea interioară a unghiului A și care trece prin centrul cercului circumscris triunghiului ABC. Aici am notat cu S și respectiv T mijloacele segmentelor BD și respectiv CE.
   Mihnea și Radu au folosit numere complexe.
   Echipa României a obținut 41 de puncte la această problemă. Mihnea a pierdut un punct din cauza unei greșeli minore la calculele cu numere complexe.

Enunț

  Determinați toate numerele naturale Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n \ge 3} pentru care există Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_1, a_2, . . . ,a_{n+2}} numere reale, astfel încât Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_{n+1} = a_1} , Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_{n+2} = a_2} și Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_i a_{i+1} + 1 = a_{i+2}} , pentru Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle i = 1,2,...,n} .

Soluție

  Vom prezenta o soluție asemănătoare cu cea dată în concurs de Edis, Ciprian și loan. Vom arăta că numerele căutate sunt multiplii lui 3. Să observăm de la început că putem prelungi șirul la unul infinit, periodic de perioadă Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} .
  Dacă Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle n} este divizibil cu 3, atunci o soluție este

Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (a_1,a_2,...) = (-1,-1,2,-1,-1,2,...)}

.

  Nu există în șir un termen Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_i = 0} . Altfel, începând cu rangul Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle i + 2} șirul este strict crescător (se demonstrează ușor prin inducție), contrazicând periodicitatea. Începând cu termenul Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle a_i+1} , sirul este Nu s-a putut interpreta (MathML cu fallback pe SVG sau PNG (recomandat pentru browserele moderne și uneltele de accesibilitate): Răspuns incorect („Math extension cannot connect to Restbase.”) de la serverul „https://wikimedia.org/api/rest_v1/”:): {\displaystyle (1, 1,2,3, 7, 22, . . )} .