E:16203

E:16203 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul $BCD$ dreptunghic în $D$, cu $\sphericalangle CBD=90^{\circ }$. Se consideră punctul $M$ astfel încât semidreapta $CD$ este bisectoarea $\sphericalangle BCM$ și $MD\bot BC$. Fie punctul $L$ astfel încât $B$ se află pe segmentul $ML$ și $BM=2BL$. Notăm cu $F$ simetricul lui $D$ față de $B$. Arătați că

a) $MB=CF$

b) $\sphericalangle BDL=\sphericalangle BMD$

Soluție:

Fie $BD\cap CM=\left\{A\right\}$. Atunci triunghiul $ABC$ este echilateral. Notăm $AB=a>0$. Deoarece $CD$ este înălțime a triunghiului echilateral $ABC$, rezultă că $CD$ este și bisectoare a $\sphericalangle ACB$.

Fie $BC\cap DM=\left\{E\right\}$. Se arată ușor că $BE={\frac {a}{4}}$, deci $EC={\frac {3a}{4}}$. Din triunghiul dreptunghic $CEM$ rezultă că $EC={\frac {MC}{2}}$, așadar $CM={\frac {3a}{2}}$.

a) Avem $MA=MC-AC={\frac {a}{2}}=BF$, $AB=BC=a$ și $\sphericalangle MAB=\sphericalangle FBC=120^{\circ }$, deci triunghiurile $ABM$ și $BCF$ sunt congruente, așadar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MB=CF} .

b) Triunghiurile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABM} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BCF} sunt congruente, de unde obținem că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle MBA = \sphericalangle FCB = x^\circ} . Rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle MBC = \sphericalangle ACF = 60^\circ + x^\circ} .

Deoarece Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{MB}{BL} = \frac{AB}{BF} = 2 } , iar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle MBA = \sphericalangle LBF} , rezulră că triunghiurile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MBA} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle LBF} sunt asemenea, deci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle FL \parallel MC} . Folosind secanta