E:16203

E:16203 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul $BCD$ dreptunghic în $D$, cu $\sphericalangle CBD=90^{\circ }$. Se consideră punctul $M$ astfel încât semidreapta $CD$ este bisectoarea $\sphericalangle BCM$ și $MD\bot BC$. Fie punctul $L$ astfel încât $B$ se află pe segmentul $ML$ și $BM=2BL$. Notăm cu $F$ simetricul lui $D$ față de $B$. Arătați că

a) $MB=CF$

b) $\sphericalangle BDL=\sphericalangle BMD$

Soluție:

Fie $BD\cap CM=\left\{A\right\}$. Atunci triunghiul $ABC$ este echilateral. Notăm $AB=a>0$. Deoarece $CD$ este înălțime a triunghiului echilateral $ABC$, rezultă că $CD$ este și bisectoare a $\sphericalangle ACB$.

Fie $BC\cap DM=\left\{E\right\}$. Se arată ușor că $BE={\frac {a}{4}}$, deci $EC={\frac {3a}{4}}$. Din triunghiul dreptunghic $CEM$ rezultă că $EC={\frac {MC}{2}}$, așadar $CM={\frac {3a}{2}}$.

a) Avem $MA=MC-AC={\frac {a}{2}}=BF$, $AB=BC=a$ și Failed to parse (unknown function "\sphericalangleFBC"): {\displaystyle \sphericalangle MAB = \sphericalangleFBC = 120^\circ} , deci triunghiurile $ABM$ și $BCF$ sunt congruente, așadar $MB=CF$.

b) Triunghiurile $ABM$ și $BCF$ sunt congruente