27795

S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)

Fie n un număr natural care nu este multiplu de 4 și G un grup necomutativ de ordin n. Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui G care au aceleași puncte fixe.

Soluție:

Pentru orice a Є G, funcția Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_a : G \rightarrow G, f_a(x) = axa^{-1} } este un automorfism. Un element Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_0 \in G} este punct fix al automorfismului $f_{a}$ dacă și numai dacă $f_{a}(x_{0})$, echivalent cu $x_{0}a=ax_{0}$ sau, cu alte cuvinte, cu $x_{0}\in C(a)$ (centralizatorul lui a).

În particular, deoarece $C(a)=C(a^{-1})$, pentru orice $a\in G$, automorfismele $f_{a}$ și au aceleași puncte fixe, deci este suficient să arătăm că există $a\in G$ astfe încât $f_{a}\neq f_{a^{-1}}$.

Dacă $f_{a}\neq f_{a^{-1}}$, atunci, pentru orice $x\in G$ avem $axa^{-1}=a^{-1}xa$, adică $a^{2}x=xa^{2}$, ceea ce revine la $a^{2}\in Z(G)$. Cum $a^{2}\in Z(G)$ pentru orice $a\in Z(G)$, iar $Z(G)\neq G$, vom demonstra că există $a\in G\backslash Z(G)$ astfel încât $a^{2}\notin Z(G)$. Să observăm că dacă ordinul $p$ al unui element $a\in G\backslash Z(G)$ este număr impar, atunci $a^{2}\neq Z(G)$, deoarece, presupunând contrariul, din $a^{2}\in Z(G)$ și $a^{p}=e\in Z(G)$, ar rezulta că $a^{(2,p)}\in Z(G)$, adică $a\in Z(G)$, contradicție. Așadar, este suficient să arătăm că $G\backslash Z(G)$ conține cel puțin un element de ordin impar.

Dacă $|G|$ este număr impar, atunci orice element din $G$, implicit și din $G\backslash Z(G)$, are ordin impar. Dacă $|G|$ este număr par, atunciFailed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |G| =4n +2} , cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \in \N^*} . Notând Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A = \{x \in G | x^{2n+1} = e\}} , se știe că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |A| = 2n +1} . Elementele lui A au ordin impar și, cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} este necomutativ, avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |Z(G)| \leq \frac{1}{4} |G| < |A|} , deci eistă elemente de ordin impar care nu aparțin lui Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z(G)} .