27024 (Gheorghe Szöllösy)
Fie I n = ∫ 0 π cos n x 13 − 12 cos x d x , n ≥ 0. {\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{\pi }{\frac {\cos nx}{13-12\cos x}}\,dx,n\geq 0.} Să se calculeze lim n → ∞ ( I 0 + I 1 + I 2 + … + I n ) . {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(I_{0}+I_{1}+I_{2}+\ldots +I_{n}).}
Soluție. Să observăm că
oricare ar fi n ∈ N . {\displaystyle n\in \mathbb {N} .} Atunci I n = α ( 2 3 ) n + β ( 3 2 ) n {\displaystyle I_{n}=\alpha \left({\frac {2}{3}}\right)^{n}+\beta \left({\frac {3}{2}}\right)^{n}} , unde α + β = I 0 = π 5 {\displaystyle \alpha +\beta =I_{0}={\frac {\pi }{5}}} și 2 3 α + 3 2 β = I 1 = 2 π 15 . {\displaystyle {\frac {2}{3}}\alpha +{\frac {3}{2}}\beta =I_{1}={\frac {2\pi }{15}}.}
Obținem α = π 5 , β = 0 {\displaystyle \alpha ={\frac {\pi }{5}},\beta =0} și I n = π 5 ( 2 3 ) n {\displaystyle I_{n}={\frac {\pi }{5}}\left({\frac {2}{3}}\right)^{n}} .
În consecință, lim n → ∞ ( I 0 + I 1 + I 2 + … + I n ) = π 5 1 − 2 3 = 3 π 5 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }(I_{0}+I_{1}+I_{2}+\ldots +I_{n})={\frac {\frac {\pi }{5}}{1-{\frac {2}{3}}}}={\frac {3\pi }{5}}} .
Să se calculeze 
Atunci 
, unde 
și 
și 
.
.
