28208

28208 (Dana Heuberger, Baia Mare)

Considerăm pentagonul convex ABCDE înscris într-un cerc și $H_{1},H_{2},H_{3},H_{4},H_{5}$ ortocentrele triunghiurilor ACD, BDE, CEA, DAB, respectiv EBC. Arătați că, dacă $H_{1}H_{2}\parallel AB$, $H_{2}H_{3}\parallel BC$, $H_{3}H_{4}\parallel CD$ și $H_{4}H_{5}\parallel DE$, atunci ABCDE și $H_{1}H_{2}H_{3}H_{4}H_{5}$ sunt pentagoane regulate.

Soluție: Fie O centrul cercului circumscris pentagonului ABCDE. Folosind relația lui Sylvester, obținem ${\overrightarrow {OH_{1}}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {OD}}$ și ${\overrightarrow {OH_{2}}}={\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OD}}+{\overrightarrow {OE}}.$ Avem ${\overrightarrow {H_{1}H_{2}}}={\overrightarrow {OH_{2}}}-{\overrightarrow {OH_{1}}}={\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CE}}$ și, cum $H_{1}H_{2}\parallel AB,$ rezultă că $AB\parallel CE$, deci $AE=BC$ și $H_{1}H_{2}=|CE-AB|.$

Analog, din $H_{2}H_{3}\parallel BC,$ obținem $AB=CD$ și $H_{2}H_{3}=|AD-BC|$, din $H_{3}H_{4}\parallel CD$ deducem că $BC=DE$ și $H_{3}H_{4}=|BE-CD|$, iar din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_4H_5 \parallel DE} rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CD=AE} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_4H_5=|AC-DE|.}

Avem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB=BC=CD=DE=EA} , prin urmare și arcele de cerc subîntinse de laturile pentagonului sunt congruente, deci și unghiurile lui ABCDE sunt congruente. În concluzie, pentagonul ABCDE este regulat.

Din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AE \parallel BD} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{H_1 H_5}=\overrightarrow{A E}+\overrightarrow{D B}} , obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1H_5=DB-AE} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_5H_1 \parallel AE.} Deducem că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1H_2=H_2H_3=H_3H_4=H_4H_5=H_5H_1} și că unghiurile lui Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1H_2H_3H_4H_5} sunt congruente cu cele ale pentagonului regulat ABCDE, deci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1H_2H_3H_4H_5} este un pentagon regulat.