E:14228

E:14228 (Mihai Vijdeluc)

Arătați că nu există niciun număr de forma ${\overline {abc}}$ cu proprietatea că ${\sqrt {\overline {abc}}}={\sqrt {\overline {bc}}}+a$

Soluție: Ridicăm relația la patrat și obținem ${\overline {abc}}={\overline {bc}}+a^{2}+2a{\sqrt {\overline {bc}}}$, echivalentă cu $100a+10b+c=10b+c+a^{2}+2a{\sqrt {\overline {bc}}}$ sau $100=a+2{\sqrt {\overline {bc}}}$. Valorile maxime pentru $a$ și ${\overline {bc}}$ sunt 9, respectiv 99, de unde $a+2{\sqrt {\overline {bc}}}<9+2\cdot 10$, adică $100<29$, contradicție.

În concluzie, nu există numere de forma ${\overline {abc}}$ cu proprietatea din enunț.