S:E15.208

S:E15.208 (Angela Lopată)

Determinați toate numerele naturale consecutive care au suma $2015$.

Soluția 1.

Fie $a\in \mathbb {N}$ și $N\in \mathbb {N} \setminus \left\{0,1\right\}$ numere naturale pentru care

$$\left(a+1\right)+\left(a+2\right)+\ldots +\left(a+N\right)=2015.$$

În mod echivalent, se obține

$$Na+\left(1+2+\ldots +N\right)=2015,$$

deci

$$N\cdot \left(2a+1+N\right)=2\cdot 2015.$$

Din $a\geq 0$, avem $N\left(N+1\right)\leq N\left(2a+1+N\right)=2024$. Cum $63\cdot 64\leq 4030\leq 64\cdot 65$, se deduce că $N\leq 63$.

Din $N|4030$ și $N\leq 63$ rezultă $N\in \left\{2,5,10,13,26,31,62\right\}$.

Pentru $N=2$ se obține $2a+3=2015$, cu $a=1006$. Deci avem suma de două numere consecutive

$$1007+1008=2015.$$

Pentru $N=5$ se obține $2a+6=806$, cu $a=400$. Deci avem suma de $5$ numere consecutive

$$401+402+403+404+405=2015.$$

Pentru $N=10$ se obține $2a+11=403$, cu $a=196$. Deci avem suma de $10$ numere consecutive

$$197+198+\ldots +206=2015.$$

Pentru $N=13$ se obține $2a+14=310$, cu $a=148$. Deci avem suma cu $13$ termeni, numere consecutive

$$149+150+\ldots +161=2015.$$

Pentru $N=26$ se obține $2a+27=155$, cu $a=64$. Deci avem suma de $26$ de numere consecutive

$$65+66+\ldots +67=2015.$$

Pentru $N=31$ se obține $2a+32=130$, cu $a=49$. Deci avem suma de $31$ de numere consecutive

$$50+51+\ldots +80=2015.$$

Pentru $N=62$ se obține $2a+63=65$, cu $a=1$. Deci avem suma de $62$ de numere consecutive

$$2+3+\ldots +63=2015.$$