28868 (Andre Horvat-Marc)
Fie n ∈ N ∗ {\displaystyle n\in \mathbb {N^{\ast }} } și funcțiile f : [ 0 , 2 n 2 + 3 n ] → [ 1 , 2 n + 1 ] {\displaystyle f:\left[0,2n^{2}+3n\right]\to \left[1,2n+1\right]} , f ( x ) = 8 x + 9 − 1 2 {\displaystyle f\left(x\right)={\frac {{\sqrt {8x+9}}-1}{2}}} și g : [ 1 , 2 n + 1 ] → [ 0 , 2 n 2 + 3 n ] {\displaystyle g:\left[1,2n+1\right]\to \left[0,2n^{2}+3n\right]} , g ( x ) = f − 1 ( x ) {\displaystyle g\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)} .
Fie punctele A ( 2 n 2 + 3 n , 2 n + 1 ) {\displaystyle A\left(2n^{2}+3n,2n+1\right)} , B ( 2 n + 1 , 2 n 2 + 3 n ) {\displaystyle B\left(2n+1,2n^{2}+3n\right)} și mulțimea M {\displaystyle M} a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor f {\displaystyle f} și g {\displaystyle g} și dreapta A B {\displaystyle AB} . Aflați numărul punctelor din M {\displaystyle M} care au ambele coordonate întregi.
Soluție
și funcțiile ![{\displaystyle f:\left[0,2n^{2}+3n\right]\to \left[1,2n+1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/223f445094a9520da8ece8c78b5f1e7b39cdb113)
, 
și ![{\displaystyle g:\left[1,2n+1\right]\to \left[0,2n^{2}+3n\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbdd17f8999a9a0914ddf96ce2f0ad88a7a77a18)
, 
.
, 
și mulțimea 
a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor 
și 
și dreapta 
. Aflați numărul punctelor din care au ambele coordonate întregi.
