14310

14310 (Traian Covaciu)

Fie $n,n+2,n+6$ trei numere naturale și $S$ suma lor.

a) Dați exemplu de cel puțin trei valori pentru $n\in \mathbb {N}$ astfel incat numerele $n,n+2,n+6$ sa fie simultan numere prime.

b) Daca $n,n+2,n+6$ sunt simultan numere prime, aratati ca exista $k\in \mathbb {N}$ astfel incat $S=9k+5$.

c) Daca $n,n+2,n+6$ sunt numere prime, determinati restul impartirii numarului $S$ la $18$.

Solutie:

a) Pentru $n=5$ numerele sunt $5,7,11$. Pentru $n=11$ avem $11,13,17$, iar pentru $n=17$ obtinem $17,19,23$.

b) Se stie ca numerele prime au forma $6p+1$ sau $6p+5$. Daca $n=6p+1$, atunci $n+2=6p+3$ care nu este numar prim. Asadar, $n=6p+5$. In aceasta situatie avem $S=6p+5+6p+7+6p+11=18p+23=9(2p+2)+5$. In concluzie, exista $k=2p+2$ astfel incat $S=9k+5$.

c) Din punctul b) avem $S=18(p+1)+5$, deci restul impartirii lui $S$ la $18$ este $5$.