28206

28206 (Dana Heuberger)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(G,\cdot\right)} un grup cu elementul neutru $e$ care conține subgrupurile proprii, distincte, finite $H_{1}$, $H_{2}$ și $H_{3}$, astfel încât pentru orice permutare $\sigma \in S_{3}$ și orice $a\in H_{\sigma \left(1\right)}\setminus \left\{e\right\}$, $b\in H_{\sigma \left(2\right)}\setminus \left\{e\right\}$, rezultă că $ab\in H_{\sigma \left(3\right)}$.

1. Arătați că subgrupurile $H_{1}$, $H_{2}$ și $H_{3}$ au același număr de elemente.
2. Dacă $G=H_{1}\cup H_{2}\cup H_{3}$, arătați că grupul $G$ este de tip Klein.

Soluție.

a) Pentru orice subgrup $H$ a lui $G$, notăm $H^{\ast }=H\setminus \left\{e\right\}$.

Arătăm mai întâi că $H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$.

Presupunem că există $a\in H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}$, cu $a\neq e$. Din ipoteză, rezultă că $H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\subset H_{3}$, deci $H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }\subset H_{3}\cdot H_{3}^{\ast }=H_{3}$. Cum $a\in H_{2}^{\ast }$ și $a^{-1}\in H_{3}^{\ast }$, rezută că $e=a\cdot a^{-1}\in H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }$, deci $H_{1}^{\ast }\subset H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }\subset H_{3}$, așadar $H_{1}^{\ast }\subset H_{3}$, adică $H_{1}\subset H_{3}$. În mod analog, se arată că $H_{3}\subset H_{1}$. Rezultă că $H_{1}=H_{3}$, ceea ce contrazice ipoteza. În consecință, $H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$.

Arătăm, mai departe, că $H_{1}\cap H_{2}=H_{2}\cap H_{3}=H_{1}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$.

Presupunem că există $a\in H_{1}\cap H_{2}$, cu $a\neq e$. Dacă $H_{1}$ are cel puțin trei elemente, alegem $x\in H_{1}\setminus \left\{e,a\right\}$. Cum $xa^{-1}\in H_{1}^{\ast }$ și $a\in H_{2}^{\ast }$, rezultă că $xa^{-1}a=x\in H_{3}$, deci $H_{1}\setminus \left\{e,a\right\}\subset H_{3}$, așadar $H_{1}\setminus \left\{a\right\}\subset H_{3}$. Subgrupul $\langle H_{1}\setminus \{a\}\rangle$ generat de $H_{1}\setminus \{a\}$ este un grup al lui $H_{1}$. Deoarece ordinul lui $\langle H_{1}\setminus \{a\}\rangle$ este cel puțin $2$ și trebuie să dividă ordinul lui $H_{1}$, rezultă că $\langle H_{1}\setminus \{a\}\rangle =H_{1}$. Cum $H_{3}$ este subgrup al lui Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} , iar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1 \setminus \left\{a\right\} \subset H_3} , rezultă că și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \langle H_1 \setminus \{a\}\rangle = H_1} este inclus în Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_3} , deci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\in H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}} , fals. Așadar, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1} nu poate avea cel puțin trei elemente. Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1 = \{e,a\}} , atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_2} are cel puțin trei elemente, pentru că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_2 \ne H_1 } , și, ca mai înainte, rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_2 \subset H_3} , așadar