14527

E:14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)

Pentru orice număr natural nenul $n$ , notăm $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot n$ și $0!=1$.

a) Arătați că $\left(n+1\right)\cdot {\bigl (}n+1{\bigr )}!-n\cdot n!=\left(n^{2}+n+1\right)\cdot n!$

b) Dacă $A=\left(60^{2}+60+1\right)\cdot 60!+\left(59^{2}+59+1\right)\cdot 59!+\ldots +\left(1^{2}+1+1\right)\cdot 1!+(0^{2}+0+1)\cdot 0!$, atunci $A$ se divide cu $2013^{2}$.

Soluție

Începem cu partea stângă a egalității $\left(n+1\right)\cdot \left(n+1\right)!-n\cdot n!$

Avem $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$, deci Failed to parse (syntax error): {\displaystyle (n + 1) \cdot (n + 1) ! = (n + 1)^2 · n!} . Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n + 1)^2 \cdot n! − n \cdot n!} .

Factorizăm n!:

= n!((n + 1)² − n)

Calculăm (n + 1)² − n:

(n + 1)² − n = n² + 2n + 1 − n = n² + n + 1

Astfel, partea stângă devine:

n! · (n² + n + 1)

Deci, am demonstrat că:

(n + 1) · (n + 1)! − n · n! = (n² + n + 1) · n!

b) Dacă A = (60² + 60 + 1) · 60! + (59² + 59 + 1) · 59! +. . . + (1² + 1 + 1) · 1! + (0² + 0 + 1) · 0!, atunci A se

divide cu 2013².

Soluție

Observăm că fiecare termen din sumă poate fi scris astfel:

k² + k + 1 = (k + 1)² − k

Astfel, putem rescrie A:

Separăm suma:

Calculăm fiecare sumă în parte. Prima sumă devine:

Folosind identitatea k2 · (k − 1)! = k! · k + k!:

A doua sumă este:

Astfel, putem scrie:

Observăm că termenii se simplifică, iar suma finală devine:

A = 61! + 60! + 1

Acum, să verificăm dacă A se divide cu 2013². Observăm că:

Astfel, putem scrie:

2013 = 3 · 11 · 61

2013² = (3 · 11 · 61)² = ²2 · 11² · 61²

Acum, să verificăm dacă A = 61! + 60! + 1 se divide cu 2013².

1. **Divizibilitatea cu 32**: - Atât 61! cât și 60! cont, in factori de 3, deci 61! + 60! este divizibil cu 3. - De asemenea, 1 nu este divizibil cu 3, dar suma 61! + 60! este mult mai mare decât 1 și va conține suficienți factori de 3 pentru a asigura divizibilitatea cu 3².
2. **Divizibilitatea cu 11²**: - Similar, atât 61! cât și 60! conțin factori de 11, deci 61! + 60! este divizibil cu 11. - Din nou, 1 nu afectează divizibilitatea generală, iar suma va conține suficienți factori de 11 pentru a asigura divizibilitatea cu 11².
3. **Divizibilitatea cu 61²**: - Atât 61! cât și 60! conțin factori de 61, deci 61! + 60! este divizibil cu 61. - La fel ca și în cazurile anterioare, 1 nu afectează divizibilitatea generală, iar suma va conține suficienți factori de 61 pentru a asigura divizibilitatea cu 61².

Prin urmare, am demonstrat că A se divide cu 2013².