E:5743

E:5743 (Grigore Balog)

Fie $A$ mulțimea numerelor de forma ${\overline {7a8b}}$, care se divid cu $15$ și $B$ mulțimea numerelor de forma ${\overline {7x8y}}$, care se divid cu $40$. Să se determine mulțimile $A\cup B$, $A\cap B$ și $A\setminus B$.

Soluție:

Dacă $15|{\overline {7a8b}}$, atunci $5|{\overline {7a8b}}$ și $3|{\overline {7a8b}}$. Din $5|{\overline {7a8b}}$, se obține $b\in \left\{0,5\right\}$. Din $3|{\overline {7a8b}}$, se obține $a+b\in {\mathcal {M}}_{3}$. Pentru $b=0$ rezultă $a\in \left\{0,3,6,9\right\}$. Pentru $b=5$ rezultă $a\in \left\{1,4,7\right\}$. Deci

$$A=\left\{n\in \mathbb {N} ,n={\overline {7a8b}},15|n\right\}=\left\{7080,7185,7380,7485,7680,7785,7980\right\}.$$

Dacă $40|{\overline {7x8y}}$, atunci $8|{\overline {7x8y}}$ și $5|{\overline {7x8y}}$. Cum $y$ este par, din $5|{\overline {7x8y}}$ se obține $y=0$. Rezultă ${\overline {7x80}}\,\vdots \,8$, ceea ce implică $4x\,\vdots \,8$. Atunci $x\in \left\{0,2,4,6,8\right\}$. Deci

$$B=\left\{n\in \mathbb {N} ,n={\overline {7x8y}},40|n\right\}=\left\{7080,7280,7480,7680,7880\right\}.$$