E:5743

E:5743 (Grigore Balog)

Fie $A$ mulțimea numerelor de forma ${\overline {7a8b}}$, care se divid cu $15$ și $B$ mulțimea numerelor de forma ${\overline {7x8y}}$, care se divid cu $40$. Să se determine mulțimile $A\cup B$, $A\cap B$ și $A\setminus B$.

Soliție

Dacă $15|{\overline {7a8b}}$, atunci $5|{\overline {7a8b}}$ și $3|{\overline {7a8b}}$. Din $5|{\overline {7a8b}}$, se obține $b\in \left\{0,5\right\}$. Din $3|{\overline {7a8b}}$, se obține $a+b\in {\mathcal {M}}_{3}$. Pentru $b=0$ rezultă $a\in \left\{0,3,6,9\right\}$. Pentru $b=5$ rezultă $a\in \left\{1,4,7\right\}$. Deci