Gazeta matematică 2021

Gazeta Matematică 10/2021

28163 (Dana Heuberger)

Aflați șirul de numere naturale nenule Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (a_n)_{n\geq1}} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{{(1+a_1) \cdot a_{a_1}}} + \frac{1}{{(1+a_2) \cdot a_{a_2}}} + \ldots + \frac{1}{{(1+a_n) \cdot a_{a_n}}} = \frac{n}{{n+1}}} pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n \geq 1} .

Gazeta Matematică 11/2021

28203 (Dana Heuberger)

Fie $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ o funcție cu proprietatea

${\mathcal {P}}:f(f(x)-e^{x})=e^{f(x)-e^{x}}+x$, pentru orice $x\in \mathbb {R} .$

1. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este monotonă.
2. Dați un exemplu de funcție cu proprietatea ${\mathcal {P}}$ care nu este continuă.
3. Fie $f$ o funcție care admite primitive și are proprietatea ${\mathcal {P}}$ . Arătați că, dacă $f(x)\geq e^{x}$, pentru orice $x\geq 0$, atunci $f$ este surjectivă.