Gazeta matematică 2012

Gazeta Matematică 4/2012

E:14331 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Fie $n\geq 2$ un număr natural. Arătați că numărul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n^4 + n^2 + 3 } nu poate fi scris ca sumă a două numere prime.

S:E:14336 (Gh. Szöllösy)

Fie $a$ și $b$ două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietatea:

$$f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),$$

pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} și $y$ numere reale.

Gazeta Matematică 9/2012

E:14380 (Vasile Ienuțaș)

Determinați cifrele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} și $b$ știind că ${\overline {ab}}=(a+b)(a+b-1)$.

E:14383 (Gheorghe Gherasim)

Numerele naturale distincte $a$, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} verifică $9\cdot [\,a,b]\,=a\cdot b\cdot (\,a\cdot b)\,$.

i) Arătați că $a$ și $b$ nu sunt prime între ele.

ii) Arătați că diferența numerelor este cel puțin $3$.

Se consideră că $[a,b]$ reprezintă cel mai mic multiplu comun al numerelor $a$ și $b$, iar $(a,b)$ este cel mai mare divizor comun al numerelor $a$ și $b$.