Gazeta matematică 2022

Gazeta Matematică 1/2022

28247 (Florin Bojor)

Fie matricele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{C}),} care verifică simultan condițiile:

1. $AB=BA;$
2. matricea $A$ este nilpotentă și matricea $B$ este inversabilă.
   Arătați că ecuația $AX+XA=B$ nu are soluții în ${\mathcal {M}}_{3}(\mathbb {C} )$.

28250 (Codruț-Sorin Zmicală)

Calculați

$$\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\int _{0}^{1}({\sqrt {x}}+x^{n}}})^{n}dx.$$

Gazeta Matematică 3/2022

S:L22.108. (Nicolae Mușuroia)

Fie $A,B\in {\mathcal {M}}_{3}\left(\mathbb {R} \right)$ cu $AB=BA$, $A^{2}+B^{2}$ neinversabilă și $\det(A)=\alpha \cdot \det(B)\neq 0$, unde $\alpha \neq 1$. Arătați că

$${\frac {\det \left(A+B\right)}{\det \left(A+B\right)}}={\frac {\det(A)+\det(B)}{\det(A)-\det(B)}}.$$

Gazeta Matematică 4/2022

28315 (Vasile Pop și Nicolae Mușuroia)

Fie $P_{1}P_{2}\ldots P_{n}$ $(n\geq 3)$ un poligon regulat și $M$ un punct în interiorul poligonului. Notăm cu $M_{1}$, $M_{2},\ldots ,M_{n}$ simetricele punctului $M$ față de laturile poligonului. Arătați că, pentru orice alegere a punctului $M$, poligoanele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_1} Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_2 \ldots M_n} au același centru de greutate.