E:16203

E:16203 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul $BCD$ dreptunghic în $D$, cu $\sphericalangle CBD=90^{\circ }$. Se consideră punctul $M$ astfel încât semidreapta $CD$ este bisectoarea $\sphericalangle BCM$ și $MD\bot BC$. Fie punctul $L$ astfel încât $B$ se află pe segmentul $ML$ și $BM=2BL$. Notăm cu $F$ simetricul lui Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} față de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} . Arătați că

a) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MB=CF}

b) Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle BDL = \sphericalangle BMD}

Soluție:

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BD \cap CM = \left\{A\right\}} . Atunci triunghiul $ABC$ este echilateral. Notăm $AB=a>0$. Deoarece $CD$ este înălțime a triunghiului echilateral $ABC$, rezultă că $CD$ este și bisectoare a $\sphericalangle ACB$. Se arată ușor că $BE={\frac {a}{4}}$, deci $EC={\frac {3a}{4}}$. Din triunghiul dreptunghic $CEM$ rezultă că $EC={\frac {MC}{2}}$, așadar $CM={\frac {3a}{2}}$.