E:14742

E:14742 (Liliana Puț)

a) Arătați că oricare ar fi numerele reale $a$ , $b$ , $c$ avem

          $|a+b|+|a+c|\geq |b-c|.$

b) Demonstrați că pentru orice număr real $x$ avem

         Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + ... + |x + 2014| \ge 1007^2.}

Soluție

a) Arătăm că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x| + |y| \ge |x - y|} , (1).

Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |x - y| = |y - x|} , relația (1) este simetrică în Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} și $y$ și este suficient să analizăm cazul $x\geq y$ . Mai mult, deoarece $|x|=|-x|$ , vom analiza numai cazul $x\geq 0$ și $y\geq 0$ . În acest caz, inegalitate $x+y\geq x-y$ conduce la $y\geq 0$ , care este adevărată. Luând $x=a+b$ și $y=a+c$ , obținem inegalitatea din enunț.