E:14742

E:14742 (Liliana Puț, Sighetul Marmației)

a) Arătati că oricare ar fi numerele reale a, b, c avem

         |a + b| + |a + c| ≥ |b - c|.

b) Demonstrați că pentru orice număr real X avem

         |x + 1| + |x + 2| + |x + 3| + ... + |x + 2014| ≥ $1007^{2}$.

Soluție

a) Arătăm că |x| + |y| ≥ |x - y|, (1). Cum |x - y| = |y - x|, relația (1) este simetrică în x și y și este suficient să analizăm cazul x ≥ y. Mai mult, deoarece |x| = | - x|, vom analiza numai cazul x ≥ 0 și y ≥ 0, iar în acest caz x + y ≥ x - y conduce la y ≥ 0, care este adevărată. Luând x = a + b și y = a + c, obținem inegalitatea din enunț.

b) Membrul stâng al inegalității are 2014 termeni. Grupăm câte doi termeni egal depărtați de capete și conform punctului a) avem |x + 2015 - k| + |x + k| ≥ |x + 2015 - k - x - k| = 2015 - 2k, pentru orice k ∈ {1, 3, 5, ... , 1007}. Astfel, suma este mai mare sau egală cu 2013 + 2011 + ... + 1 = (2013 + 1) + (2011 + 3) + ... + (1009 + 1005) + 1007 = 2014 • 503 + 1007 = $1007^{2}$.