27795

From Bitnami MediaWiki
Revision as of 10:06, 16 January 2024 by Andrei.Horvat (talk | contribs)

S:27795 (Adrian Boroica și Florin Bojor)

Fie un număr natural care nu este multiplu de și un grup necomutativ de ordin . Să se demonstreze că există două automorfisme ale lui care au aceleași puncte fixe.

Soluție:

Pentru orice , funcția este un automorfism. Un element este punct fix al automorfismului dacă și numai dacă , echivalent cu sau, cu alte cuvinte, cu (centralizatorul lui a).

În particular, deoarece , pentru orice , automorfismele și au aceleași puncte fixe, deci este suficient să arătăm că există astfe încât .

Dacă , atunci, pentru orice avem , adică , ceea ce revine la . Cum pentru orice , iar , vom demonstra că există astfel încât . Să observăm că dacă ordinul al unui element este număr impar, atunci , deoarece, presupunând contrariul, din și , ar rezulta că , adică , contradicție. Așadar, este suficient să arătăm că conține cel puțin un element de ordin impar.

Dacă este număr impar, atunci orice element din , implicit și din , are ordin impar. Dacă este număr par, atunci, cu . Notând , se știe că . Elementele lui A au ordin impar și, cum este necomutativ, avem , deci eistă elemente de ordin impar care nu aparțin lui .