E:15345

E:15345 (Călin Dănuț Hossu, Baia Mare)

Determinați numerele ${\overline {xyz}}$ , scrise în baza $10$, știind că $x^{y+z}+x^{y}+x^{z}-584=0$.

Soluție

Ecuația se scrie în mod echivalent

$$x^{y}\cdot x^{z}+x^{y}+x^{z}=584,$$

ceea ce conduce la

$$x^{y}\cdot x^{z}+x^{y}+x^{z}=585.$$

De aici avem $x^{y}\cdot (x^{z}+1)+(x^{z}+1)=585$, de unde rezultă

$$(x^{y}+1)\cdot (x^{z}+1)=585.$$

Deoarece $585$ este număr impar deducem că cele două paranteze sunt numere impare; mai mult $x$ este număr par.

Cum $585=3\cdot 195=5\cdot 117=9\cdot 65=13\cdot 45=15\cdot 39$ putem avea $x^{y}+1=3$ și $x^{z}+1=195;x^{y}+1=5$ și $x^{z}+1=117;x^{y}+1=9$ și $x^{z}+1=65;x^{y}+1=13$ și $x^{z}+1=45;x^{y}+1=15$ și $x^{z}+1=39$, sau invers.

Soluții naturale obținem numai pentru $x^{y}+1=9$ sau Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^y + 1 = 65 } .

Găsim Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 2, y = 3, z = 6 } , sau Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x = 2, y = 6, z = 3 }