28206

28206 (Dana Heuberger)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left(G,\cdot\right)} un grup cu elementul neutru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} care conține subgrupurile proprii, distincte, finite Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1} , $H_{2}$ și $H_{3}$, astfel încât pentru orice permutare $\sigma \in S_{3}$ și orice $a\in H_{\sigma \left(1\right)}\setminus \left\{e\right\}$, $b\in H_{\sigma \left(2\right)}\setminus \left\{e\right\}$, rezultă că $ab\in H_{\sigma \left(3\right)}$.

1. Arătați că subgrupurile $H_{1}$, $H_{2}$ și $H_{3}$ au același număr de elemente.
2. Dacă $G=H_{1}\cup H_{2}\cup H_{3}$, arătați că grupul $G$ este de tip Klein.

Soluție.

a) Pentru orice subgrup $H$ a lui $G$, notăm $H^{\ast }=H\setminus \left\{e\right\}$.

Arătăm mai întâi că $H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}=\left\{e\right\}$.

Presupunem că există $a\in H_{1}\cap H_{2}\cap H_{3}$, cu $a\neq e$. Din ipoteză, rezultă că $H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\subset H_{3}$, deci $H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }\subset H_{3}\cdot H_{3}^{\ast }=H_{3}$. Cum $a\in H_{2}^{\ast }$ și $a^{-1}\in H_{3}^{\ast }$, rezută că $e=a\cdot a^{-1}\in H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }$, deci $H_{1}^{\ast }\subset H_{1}^{\ast }\cdot H_{2}^{\ast }\cdot H_{3}^{\ast }\subset H_{3}$, așadar $H_{1}^{\ast }\subset H_{3}$, adică Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1 \subset H_3 } . În mod analog, se arată că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_3 \subset H_1 } . Rezultă că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1 = H_3 } , ceea ce contrazice ipoteza. În consecință, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1 \cap H_2 \cap H_3 = \left\{e\right\}} .

Arătăm, mai departe, că Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1 \cap H_2 = H_2 \cap H_3 = H_1 \cap H_3 = \left\{e\right\}} .

Presupunem că există Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \in H_1 \cap H_2 } , cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \ne e } . Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_1} are cel puțin trei elemente, alegem