E:14336

E:14336 (Gh. Szöllösy)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} și $b$ două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ cu proprietatea:

$$f(x)-f(y)=(ax+by)f(x)f(y),$$

pentru orice $x$ și $y$ numere reale.

Soluție.

Presupunem că$f(0)=c\neq 0.$ Atunci, pentru $y=0$ relația din enunț devine

$$f(x)-c=acxf(x).$$

Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice$x\in \mathbb {R} .$ Într-adevăr, pentru $x={\frac {1}{ac}}$ obținem $c=0$, în contradicție cu presupunerea făcută, $c\neq 0.$ Rezultă așadar, că $f(0)=0.$ De aici, luând Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=0} obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=0,} singura funcție care verifică relația dată.