E:16203

E:16203 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul $BCD$ dreptunghic în $D$, cu $\sphericalangle CBD=90^{\circ }$. Se consideră punctul $M$ astfel încât semidreapta $CD$ este bisectoarea $\sphericalangle BCM$ și $MD\bot BC$. Fie punctul $L$ astfel încât $B$ se află pe segmentul $ML$ și $BM=2BL$. Notăm cu $F$ simetricul lui $D$ față de $B$. Arătați că

a) $MB=CF$

b) $\sphericalangle BDL=\sphericalangle BMD$

Soluție:

Fie $BD\cap CM=\left\{A\right\}$. Atunci triunghiul $ABC$ este echilateral. Notăm $AB=a>0$. Deoarece $CD$ este înălțime a triunghiului echilateral $ABC$, rezultă că $CD$ este și bisectoare a $\sphericalangle ACB$.

Fie $BC\cap DM=\left\{E\right\}$. Se arată ușor că $BE={\frac {a}{4}}$, deci $EC={\frac {3a}{4}}$. Din triunghiul dreptunghic $CEM$ rezultă că $EC={\frac {MC}{2}}$, așadar $CM={\frac {3a}{2}}$.

a) Avem $MA=MC-AC={\frac {a}{2}}=BF$, $AB=BC=a$ și $\sphericalangle MAB=\sphericalangle FBC=120^{\circ }$, deci triunghiurile $ABM$ și $BCF$ sunt congruente, așadar $MB=CF$.

b) Triunghiurile $ABM$ și $BCF$ sunt congruente, de unde obținem că $\sphericalangle MBA=\sphericalangle FCB=x^{\circ }$. Rezultă că $\sphericalangle MBC=\sphericalangle ACF=60^{\circ }+x^{\circ }$.

Deoarece ${\frac {MB}{BL}}={\frac {AB}{BF}}=2$, iar $\sphericalangle MBA=\sphericalangle LBF$, rezulră că triunghiurile $MBA$ și $LBF$ sunt asemenea, deci $FL\parallel MC$. Folosind secanta $FC$, deducem că ungiurile alterne interne $CFL$ și $ACF$ sunt congruente, așadar $\sphericalangle ACF=\sphericalangle MBC=\sphericalangle CFL$. Din $\Delta MBA\approx \Delta LBF$ rezultă că $FL={\frac {MA}{2}}={\frac {a}{4}}=BE$.

Cum $MB=CF$ și $\sphericalangle MBC=\sphericalangle CFL$, rezultă că $\Delta MBE\equiv \Delta CFL$, așadar $CL\bot FL$. Din $\sphericalangle CLF=\sphericalangle CDF=90^{\circ }$ rezultă că $CDFL$ este un patrulater inscriptibil, deci $\sphericalangle FDL=\sphericalangle FCL$. Deoarece $\Delta MBE\equiv \Delta CFL$, rezultă $\sphericalangle FCL=\sphericalangle BME$, deci $\sphericalangle BDL=\sphericalangle FDL=\sphericalangle BMD$.