E:16203

E:16203 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BCD} dreptunghic în Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle D} , cu Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle CBD = 90^\circ} . Se consideră punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} astfel încât semidreapta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CD} este bisectoarea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sphericalangle BCM} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MD \bot BC} . Fie punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle L} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B} se află pe segmentul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ML} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle BM=2BL} . Notăm cu $F$ simetricul lui $D$ față de $B$. Arătați că

a) $MB=CF$

b) $\sphericalangle BDL=\sphericalangle BMD$

Soluție:

Fie $BD\cap CM=\left\{A\right\}$. Atunci triunghiul $ABC$ este echilateral. Notăm $AB=a>0$. Deoarece $CD$ este înălțime a triunghiului echilateral $ABC$, rezultă că $CD$ este și bisectoare a $\sphericalangle ACB$.

Fie $BC\cap DM=\left\{E\right\}$. Se arată ușor că $BE={\frac {a}{4}}$, deci $EC={\frac {3a}{4}}$. Din triunghiul dreptunghic $CEM$ rezultă că $EC={\frac {MC}{2}}$, așadar $CM={\frac {3a}{2}}$.

a) Avem $MA=MC-AC={\frac {a}{2}}=BF$, $AB=BC=a$ și $\sphericalangle MAB=\sphericalangle FBC=120^{\circ }$, deci triunghiurile $ABM$ și $BCF$ sunt congruente, așadar $MB=CF$.

b) Triunghiurile $ABM$ și $BCF$ sunt congruente, de unde obținem că $\sphericalangle MBA=\sphericalangle FCB=x^{\circ }$. Rezultă că $\sphericalangle MBC=\sphericalangle ACF=60^{\circ }+x^{\circ }$.

Deoarece ${\frac {MB}{BL}}={\frac {AB}{BF}}=2$, iar $\sphericalangle MBA=\sphericalangle LBF$, rezulră că triunghiurile $MBA$ și $LBF$ sunt asemenea, deci $FL\parallel MC$. Folosind secanta