28260

28260 (Dana Heuberger)

Enunț

Fie triunghiul echilateral Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} înscris în cercul de centru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle O} și rază Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} . Considerăm mulțimea M a punctelor X din plan cu proprietatea că ${\overrightarrow {OX}}=k$ $\cdot {\overrightarrow {OA}}+m\cdot {\overrightarrow {OB}}+n\cdot {\overrightarrow {OC}}$,unde $k,m,n\in N^{*}$. Arătați că oricare ar fi punctele distincte $M,N,P\in M$ există $Q\in \{M}\$ astfel încât vectorii ${\overrightarrow {MN}}$, ${\overrightarrow {PQ}}$ și ${\overrightarrow {NM}}+$ ${\overrightarrow {QP}}$ să formeze un triunghi echilateral.

Soluție

Formăm in plan o rețea de triunghiuri echilaterale ale căror vârfuri se află pe drepte paralele echidistante, avand direcțiile dreptelor OA,OB și OC, distanța ditre două drepte consecutive fiind de ${\sqrt {3}}$, ca în figura alăturată. Cum ${\overrightarrow {OC}}$ = $-{\overrightarrow {OC}}$ - ${\overrightarrow {OC}}$ obținem că $X\in M$ dacă și numai dacă există $p,q\in Z$, astfel încât ${\overrightarrow {OX}}=p$ $\cdot$ ${\overrightarrow {OA}}+q$ $\cdot$ ${\overrightarrow {OB}}$.

Analog,coordonatele lui ${\overrightarrow {OX}}$ în baza $({\overrightarrow {OB}},\,{\overrightarrow {OC}})$, precum și cele din baza $({\overrightarrow {OA}},\,{\overrightarrow {OC}})$ sunt întregi. De aici rezultă ușor că $M$ este mulțimea tuturor vârfurilor rețelei.

Alegem punctele $M,N,P\in M$. Dacă vectorul ${\overrightarrow {MN}}$ este paralel cu unul dintre vectorii ${\overrightarrow {OA}}$,${\overrightarrow {OB}}$,${\overrightarrow {OA}},$ problema este evidentă. Dacă ${\overrightarrow {MN}}$ nu este paralel cu niciunul dintre vectorii ${\overrightarrow {OA}},$${\overrightarrow {OB}},$,${\overrightarrow {OC}},$ fie $a,b\in Z^{*}$ coordonatele lui ${\overrightarrow {MN}}$ în baza $({\overrightarrow {OA}},$${\overrightarrow {OB}})$ și punctele $S,T,R,$ astfel încât ${\overrightarrow {SN}}=a\cdot$ ${\overrightarrow {OA}},$ ${\overrightarrow {MS}}=b\cdot$ ${\overrightarrow {OB}},$, ${\overrightarrow {NR}}=a\cdot$ ${\overrightarrow {OC}},$ și ${\overrightarrow {RT}}=b\cdot$ ${\overrightarrow {OA}}$. Rezultă ${\overrightarrow {MN}}=a\cdot$${\overrightarrow {OA}}+b\cdot$ Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OB} } și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{NT} = a \cdot } Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OC} + b \cdot } Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{OA} } .

Dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \cdot b > 0,} atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 60^\circ} , iar daca Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \cdot b < 0,} atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(\angle MSN) = m(\angle TRN) = 120^\circ} . Cum Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MS = RT = |b|,} iar Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle SN = NR = |a|,} rezultă că triunghiurile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MNS} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle TNR} sunt congruente, deci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle TN = MN } și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(\angle MSN) = m(\angle TRN). } .

Întrucât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(\angle SNR) = 60^\circ} , obținem și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m(\angle MNT) = 60^\circ} , deci triunghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MNT} este echilateral. Este suficient să alegem punctul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Q} astfel încât Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{PQ} =} Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overrightarrow{NT}} și problema este rezolvată.

Remarcă: De fapt, triunghiul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle TNR} este imaginea triunghiului Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle MNS} prin rotația de centru Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} și unghi de Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 60^/circ} .