E:16382

E:16382 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Afișați numerele întregi pozitive ${\overline {abcd}}$ cu proprietatea

$$a^{7}+a^{b}+a^{c}+a^{d}={\overline {a000}}.$$

Soluție

Deoarece $4^{7}>9999$ și $1^{7}+1^{b}+1^{c}+1^{d}<1000$, avem $a=2$ sau $a=3$.

Egalitatea din enunț corespunde scrierii numărului ${\overline {a000}}$ în baza $a$.

Cum $2000=11111010000_{2}$, $a=2$ nu convine.

De asemenea, $3000=101010010_{3}$ corespunde egalității din enunț

$$3000=3^{7}+3^{5}+3^{4}+3^{2}\cdot 2^{2}.$$

Prin urmare, avem soluțiile $b=6$, $c=4$, $d=1$ și permutările acestora.

Se obțin numerele întregi pozitive:

$$\{{3641},{3614},{3461},{3416},{3164},{3146}\}.$$