E:14336

S:E14336 (Gh. Szöllösy)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} două numere reale nenule, fixate. Determinați toate funcțiile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}} cu proprietatea: Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)-f(y)=(ax + by)f(x)f(y),}
pentru orice Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} și $y$ numere reale.

Soluție.

Presupunem că$f(0)=c\neq 0.$ Atunci, pentru $y=0$ relația din enunț devine

$$f(x)-c=acxf(x).$$

Ultima relație nu poate fi adevărată pentru orice$x\in \mathbb {R} .$
Într-adevăr, pentru $x={\frac {1}{ac}}$ obținem $c=0$, în contradicție cu presupunerea făcută, $c\neq 0.$. Rezultă așadar, că $f(0)=0.$ De aici, luând $y=0$ obținem Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x)=0,} singura funcție care verifică relația dată.