0425 - Viete

Cerință

Se consideră ecuația de gradul al doilea ax^2+bx+c=0 cu coeficienți întregi și un număr natural n. Să se determine Sn=x1^n+x2^n unde x1 și x2 sunt rădăcinile ecuației, folosind relațiile lui Viete.

Date de intrare

Programul citește de la tastatură numerele a b c n.

Date de ieșire

Programul afișează pe ecran numărul S, reprezentând valoarea cerută.

Restricții de precizări

• 1 ≤ n ≤ 10
• -10 ≤ b,c ≤ 10, a = 1
• rezultatul se va înscrie pe 32 de biți cu semn

Indicații de rezolvare

Considerăm relațiile lui Viete

S=x1+x2=−ba

P=x1⋅x2=ca Se demonstrează că:

Sn=S⋅Sn−1−P⋅Sn−2

S1=S

S2=S2−2⋅P Pentru rezolvarea problemei folosim relațiile de mai sus.

Exemplul 1:

Intrare

1 -3 2 4

Ieșire

Datele de intrare corespund restrictiilor impuse.

17

Exemplul 2:

Intrare

5 20 20 4

Ieșire

Datele de intrare nu corespund restrictiilor impuse.

Rezolvare

<syntaxhighlight lang="python" line="1" start="1">

def verificare_restrictii(nr_a, nr_b, nr_c, nr_n): # functia de verificare a datelor de intrare

   if nr_a == 1 and -10 <= nr_b <= 10 and -10 <= nr_c <= 10 and 1 <= nr_n <= 10:
       return True
   else:
       return False

def solve(nr_a, nr_b, nr_c, nr_n):

   global sn
   s = -nr_b/nr_a
   p = nr_c/nr_a

   if nr_n == 1:
       return int(s)
   elif nr_n == 2:
       return int(s**2 - 2*p)
   else:
       sn_minus_1 = s**2 - 2*p
       sn_minus_2 = s
       for _ in range(3, nr_n+1):
           sn = s*sn_minus_1 - p*sn_minus_2
           sn_minus_2 = sn_minus_1
           sn_minus_1 = sn
       return int(sn)  # Adăugăm această linie pentru a returna sn

if __name__ == '__main__':

   try:
       a = int(input("Introduceti numarul a: "))
       b = int(input("Introduceti numarul b: "))
       c = int(input("Introduceti numarul c: "))
       n = int(input("Introduceti numarul n: "))

       if verificare_restrictii(a, b, c, n):
           print("Datele de intrare corespund restrictiilor impuse.")
           print(solve(a, b, c, n))
       else:
           print("Datele de intrare nu corespund restrictiilor impuse.")
   except ValueError:
       print("Datele de intrare nu corespund restrictiilor impuse.")

</syntaxhighlight>

Explicație

S=3,P=2
S1=S=3
S2=S^2−2⋅ P=3^2−2⋅2=5
S3=S⋅S2−P⋅S1=3⋅5−2⋅3=9
S4=S⋅S3−P⋅S2=3⋅9−2⋅5=17