Gazeta matematică 2024

Gazeta Matematică 5/2024

Ciclul primar

P:1791 (Vraja-Lőkös Éva-Ibolya)

Suma a două numere naturale, pare, consecutive este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 90} . Aflați produsul acestor numere.

P:1792 (Monica Dragoș)

Determinați numărul natural Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{ab}} pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times \overline{b00b} + \overline{aa} = 2024} .

P:1793 (Ioana Roman)

Determinați cel mai mic număr de forma ${\overline {abcd}}$ pentru care are loc egalitatea $1+{\overline {abcd}}=88\times {\overline {cd}}$.

P:1794 (Florin Bojor)

Suma a trei numere este $182$. Aflați cele trei numere, știind că jumătatea primului număr, treimea celui de-al doilea și pătrimea celui de-al treilea număr sunt trei numere consecutive în ordine crescătoare.

Clasa a VI-a

E:16899 (Angela Lopată)

Fie $ABC$ un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii $AB$ pe dreapta $BC$ este mai mare decât lungimea segmentului $\left[AC\right]$. Considerăm punctele $M$, $N$ pe laturile $\left(BC\right)$, respectiv $\left(AC\right)$ astfel încât $BM=CN$. Fie punctul $P$ astfel încât $NM=MP$, punctele $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$, iar distanţa de la punctul $P$ la dreapta $BC$ este aceeași cu distanţa de la punctul $M$ la dreapta $AC$. Arătaţi că $\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA$.

Clasa a VII-a

E:16902 (Melania-Iulia Dobrican)

Fie numerele reale pozitive $x$, $y$, cu $xy=4$. Arătaţi că ${\frac {1}{x+4}}+{\frac {1}{y+4}}\leq {\frac {1}{3}}.$

Clasa a X-a

28867 (Natalia Fărcaș)

Fie funcția injectivă $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, cu proprietatea că există numerele reale $a$ și $b$ astfel încât $f\left(x\right)\cdot f\left(1-x\right)=f\left(ax+b\right)$ oricare ar fi $x\in \mathbb {R}$.

1. Demonstrați că $f\left(1-b\right)=1$.
2. Dați un exemplu de șir $\left(f_{n}\right)_{n\geq 1}$ de funcții injective $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, cu proprietatea că există $a,b\in \mathbb {R}$, astfel încât pentru orice $x\in \mathbb {R}$, avem
   $$f_{n}\left(x\right)\cdot f_{n}\left(1-x\right)=f_{n}\left(ax+b\right)$$
   și
   $$\log _{n+1}f_{n}\left(x\right)=a-\log _{n+1}f_{n}\left(-x\right).$$

28868 (Andrei Horvat-Marc)

Fie $n\in \mathbb {N^{\ast }}$ și funcțiile $f:\left[0,2n^{2}+3n\right]\to \left[1,2n+1\right]$, $f\left(x\right)={\frac {{\sqrt {8x+9}}-1}{2}}$ și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g:\left[1,2n+1\right] \to \left[0,2n^2+3n\right]} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g\left(x\right) = f^{-1}\left(x\right)} .

Fie punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\left(2n^2+3n,2n+1\right)} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\left(2n+1,2n^2+3n\right)} și mulțimea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} și dreapta Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AB} . Aflați numărul punctelor din Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} care au ambele coordonate întregi.