Gazeta matematică 2024

Gazeta Matematică 5/2024

P:1791 (Vraja-Lőkös Éva-Ibolya)

Suma a două numere naturale, pare, consecutive este $90$ . Aflați produsul acestor numere.

P:1792 (Monica Dragoș)

Determinați numărul natural ${\overline {ab}}$ pentru care Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \times \overline{b00b} + \overline{aa} = 2024} .

P:1793 (Ioana Roman)

Determinați cel mai mic număr de forma Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \overline{abcd}} pentru care are loc egalitatea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1+\overline{abcd}= 88 \times \overline{cd}} .

P:1794 (Florin Bojor)

Suma a trei numere este Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 182} . Aflați cele trei numere, știind că jumătatea primului număr, treimea celui de-al doilea și pătrimea celui de-al treilea număr sunt trei numere consecutive în ordine crescătoare.

E:16899 (Angela Lopată)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ABC} un triunghi pentru care lungimea proiecţiei laturii $AB$ pe dreapta $BC$ este mai mare decât lungimea segmentului $\left[AC\right]$ . Considerăm punctele $M$ , $N$ pe laturile $\left(BC\right)$ , respectiv $\left(AC\right)$ astfel încât $BM=CN$ . Fie punctul $P$ astfel încât $NM=MP$ , punctele $N$ și $P$ sunt de aceeași parte a dreptei $BC$ , iar distanţa de la punctul $P$ la dreapta $BC$ este aceeași cu distanţa de la punctul $M$ la dreapta $AC$ . Arătaţi că $\sphericalangle NMP=\sphericalangle PBM=\sphericalangle MCA$ .

E:16902 (Melania-Iulia Dobrican)

Fie numerele reale pozitive $x$ , $y/<math>,cu<math>xy=4$ . Arătaţi că ${\frac {1}{x+4}}+{\frac {1}{y+4}}\leq {\frac {1}{3}}.$

28867 (Natalia Fărcaș)

Fie funcția injectivă $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , cu proprietatea că există numerele reale $a$ și $b$ astfel încât $f\left(x\right)\cdot f\left(1-x\right)=f\left(ax+b\right)$ oricare ar fi $x\in \mathbb {R}$ .

Demonstrați că $f\left(1-b\right)=1$ .
Dați un exemplu de șir $\left(f_{n}\right)_{n\geq 1}$ de funcții injective $f_{n}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , cu proprietatea că există $a,b\in \mathbb {R}$ , astfel încât pentru orice $x\in \mathbb {R}$ , avem $f_{n}\left(x\right)\cdot f_{n}\left(1-x\right)=f_{n}\left(ax+b\right)$ și $\log _{n+1}f_{n}\left(x\right)=a-\log _{n+1}f_{n}\left(-x\right).$

28868 (Andrei Horvat-Marc)

Fie $n\in \mathbb {N^{\ast }}$ și funcțiile $f:\left[0,2n^{2}+3n\right]\to \left[1,2n+1\right]$ , $f\left(x\right)={\frac {{\sqrt {8x+9}}-1}{2}}$ și $g:\left[1,2n+1\right]\to \left[0,2n^{2}+3n\right]$ , $g\left(x\right)=f^{-1}\left(x\right)$ .

Fie punctele $A\left(2n^{2}+3n,2n+1\right)$ , $B\left(2n+1,2n^{2}+3n\right)$ și mulțimea $M$ a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor $f$ și $g$ și dreapta $AB$ . Aflați numărul punctelor din $M$ care au ambele coordonate întregi.