28868

28868 (Andre Horvat-Marc)

Fie Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\in \mathbb{N^\ast}} și funcțiile Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:\left[0,2n^2+3n\right] \to \left[1,2n+1\right]} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f\left(x\right) = \frac{\sqrt{8x+9}-1}{2}} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g:\left[1,2n+1\right] \to \left[0,2n^2+3n\right]} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g\left(x\right) = f^{-1}\left(x\right)} .

Fie punctele Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A\left(2n^2+3n,2n+1\right)} , Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B\left(2n+1,2n^2+3n\right)} și mulțimea Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} a punctelor din plan cuprinse între graficele funcțiilor Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g} și dreapta $AB$. Aflați numărul punctelor din $M$ care au ambele coordonate întregi.

Soluție Cum $g=f^{-1}$, se obține că funcția $g:\left[1,2n+1\right]\to \left[0,2n^{2}+3n\right]$ este definită prin $g\left(x\right)={\dfrac {\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{2}}$. Avem $B\left(2n+1,2n^{2}+3n\right)\in G_{f}$, $A\left(2n^{2}+3n,2n+1\right)\in G_{g}$ și $G_{f}\cap G_{g}=\left\{D\left(2,2\right)\right\}$.

Au loc inegalitățile $f\left(x\right)\leq x$ oricare ar fi $x\in \left[2,2n^{2}+3n\right]$ și $g\left(x\right)\geq x$ oricare ar fi $x\in \left[2,2n+1\right]$.

Considerăm că mulțimea $M$ este mulțimea tuturor punctelor din plan cuprinse în interiorul triunghiului curbiliniu $ABD$, deci este necesar să numărăm punctele laticeale din interiorul triunghiului curbiliniu $ABD$, vom nota cu $M_{n}$ acest număr.

Între segmentele $G_{f}$ și $G_{g}$ se situează și punctul $Q\left(1,1\right)$, însă considerăm $M$ ca fiind mulțimea închisă delimitată de $G_{f}$, $G_{g}$ și $\left[AB\right]$.

Fie punctele $C\left(2n^{2}+3n,2n^{2}+3n\right)$, $E\left(2,2n^{2}+3n\right)$, $F\left(2n^{2}+3n,2\right)$ și \\ %$AB\cap CD=\left\{N\right\}<math>.<math>S_{n}$ numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului curbiliniu $DBE$, respectiv Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle DAF<math>. Datorită simetriei triunghiurile curbilinii <math>DBE<math> și <math>DAF} conțin același număr de puncte laticeale.\\ $T_{n}$ numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera triunghiului $CAB$\\ $A_{n}$ numărul punctelor laticeale din interiorul și de pe frontiera pătratului $DFCE$.

Avem $A_{n}=\left(2n^{2}+3n-1\right)^{2}$, $T_{n}=\sum \limits _{k=1}^{2n^{2}+n}k={\dfrac {1}{2}}n\left(2n+1\right)\left(2n^{2}+n+1\right)$ și $S_{n}=\sum \limits _{k=2}^{2n+1}\left(2n^{2}+3n+1-g\left(k\right)\right)={\dfrac {1}{3}}n\left(2n+1\right)\left(4n+1\right).$ Atunci $M_{n}=A_{n}-2S_{n}-T_{n}+3$, în formula precedenă de adaugă Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 3<math> pentru a corecta faptul că punctele <math>A} , $B$, respectiv $D$ sunt puncte comune ale regiunilor $ADF$, $BDE$, respectiv $CAB$. Se obține Failed to parse (unknown function "\enskip"): {\displaystyle M_n = \dfrac{1}{6}\left(12n^4+28n^3-3n^2-43n+24\right), \enskip n\in \mathbb{N}^\ast.} Cazuri particulare: $M_{1}=3$ este ușor de construit și verificat, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_2 = 57} este reprezentat în figura de mai sus, Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_3 = 266 } și Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_4 = 778} .