Gazeta matematică 2014

Gazeta Matematică 1/2014

E:14682 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Se consideră triunghiul $ABC$ în care $m(\angle A)=2\cdot m(\angle B)+30^{\circ }$. Punctul $M$ este situat pe segmentul $(BC)$ astfel încât $AM=AC$. Dacă $m(\angle MAC)=2\cdot m(\angle MAB)$, arătați că $BM=MC$.

Gazeta Matematică 5/2014

26927 (Radu Pop și Vasile Ienuțaș)

Polinomul $f=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\in \mathbb {R} \left[X\right]$ are toate rădăcinile reale și verifică inegalitatea $b^{2}-4ac<ad-4a^{2}$. Să se arate că rădăcinile nu pot fi toate strict pozitive.

Gazeta Matematică 11/2014

E:14742 (Liliana Puț)

a) Arătați că oricare ar fi numerele reale $a$, $b$, $c$ avem

$$|a+b|+|a+c|\geq |b-c|.$$

b) Demonstrați că pentru orice număr real $x$ avem

$$|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2014|\geq 1007^{2}.$$

Gazeta Matematică 12/2014

E:14763 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați numerele prime $p$ și $q$, cu $p>q$, știind că $p\left(1+3pq\right)+q\left(1-3pq\right)=p^{3}-q^{3}$.