14527

E:14527 (Cristina Vijdeluc şi Mihai Vijdeluc)

Pentru orice număr natural nenul Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , notăm Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n} și $0!=1$ .

a) Arătați că $\left(n+1\right)\cdot {\bigl (}n+1{\bigr )}!-n\cdot n!=\left(n^{2}+n+1\right)\cdot n!$

b) Dacă $A=\left(60^{2}+60+1\right)\cdot 60!+\left(59^{2}+59+1\right)\cdot 59!+\ldots +\left(1^{2}+1+1\right)\cdot 1!+(0^{2}+0+1)\cdot 0!$ , atunci $A$ se divide cu $2013^{2}$ .

Soluție

a) Începem cu partea stângă a egalității $\left(n+1\right)\cdot \left(n+1\right)!-n\cdot n!$

Avem $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ , deci $(n+1)\cdot (n+1)!=(n+1)^{2}\cdot n!$ . Atunci, membrul din partea stângă a egalității devine $\left(n+1\right)^{2}\cdot n!-n\cdot n!=n!\cdot \left(n^{2}+2n+1-n\right)=\left(n^{2}+n+1\right)\cdot n!$ .

b) Folosind egalitatea de la a), se obține

{\begin{aligned}A&=\left(60^{2}+60+1\right)\cdot 60!+\left(59^{2}+59+1\right)\cdot 59!+\ldots +\left(1^{2}+1+1\right)\cdot 1!+(0^{2}+0+1)\cdot 0!\\&=61!\cdot 61-60!\cdot 60+60!\cdot 60-59!\cdot 59+\ldots +2!\cdot 2-1!\cdot 1+1!\cdot 1-0!\cdot 0\\&=61!\cdot 61\end{aligned}}