S:E15313

E:15313 (Cristina Vijdeluc și Mihai Vijdeluc)

Determinați cifra $a$ pentru care fracția ${\frac {a^{2}\cdot {\overline {aa}}+a^{2}(a^{2}+1)}{\overline {202a}}}$ este echiunitară.

Soluție:

Fracția este echiunitară dacă $a^{2}\cdot {\overline {aa}}+a^{2}(a^{2}+1)={\overline {202a}}$ sau $a^{4}+11a^{3}+a^{2}={\overline {202a}}$. Avem $2020\leq {\overline {202a}}\leq 2029$. Dacă $a\leq 4$, atunci Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^4 + 11a^3 + a^2 \leq 976 < 2020 } , iar dacă Failed to parse (SVG (MathML can be enabled via browser plugin): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \geq 6} , atunci $a^{4}+11a^{3}+a^{2}\geq 3708>2029$. Pentru $a=5$, avem $5^{4}+11\cdot 5^{3}+5^{2}=2025$.