E:16203: Difference between revisions

Revision as of 10:14, 29 February 2024

E:16203 (Dana Heuberger)

Fie triunghiul $BCD$ dreptunghic în $D$ , cu $\sphericalangle CBD=90^{\circ }$ . Se consideră punctul $M$ astfel încât semidreapta $CD$ este bisectoarea $\sphericalangle BCM$ și $MD\bot BC$ . Fie punctul $L$ astfel încât $B$ se află pe segmentul $ML$ și $BM=2BL$ . Notăm cu $F$ simetricul lui $D$ față de $B$ . Arătați că

a) $MB=CF$

b) $\sphericalangle BDL=\sphericalangle BMD$

Soluție:

Fie $BD\cap CM=\left\{A\right\}$ . Atunci triunghiul $ABC$ este echilateral. Notăm $AB=a>0$ . Deoarece $CD$ este înălțime a triunghiului echilateral $ABC$ , rezultă că $CD$ este și bisectoare a $\sphericalangle ACB$ . Se arată ușor că $BE={\frac {a}{4}}$ , deci $EC={\frac {3a}{4}}$ . Din triunghiul dreptunghic $CEM$ rezultă că $EC={\frac {MC}{2}}$ , așadar $CM={\frac {3a}{2}}$ .

Revision as of 10:12, 29 February 2024 edit Andrei.Horvat (talk \| contribs) 384 edits Pagină nouă: '''E:16203 (Dana Heuberger)''' ''Fie triunghiul'' <math>BCD</math> dreptunghic în <math>D</math>, cu <math>\sphericalangle CBD = 90^\circ</math>. ''Se consideră punctul'' <math>M</math> ''astfel încât semidreapta'' <math>CD</math> ''este bisectoarea'' <math>\sphericalangle BCM</math> ''și'' <math>MD \bot BC</math>''. Fie punctul'' <math>L</math> ''astfel încât'' <math>B</math> ''se află pe segmentul'' <math>ML</math> ''și'' <math>BM=2BL</math>. ''Notăm cu'' <math>... Tag: Visual edit		Revision as of 10:14, 29 February 2024 edit undo Andrei.Horvat (talk \| contribs) 384 edits No edit summary Tag: Visual edit Newer edit →
Line 9:		Line 9:
	'''Soluție:'''		'''Soluție:'''

	Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că		Fie <math>BD \cap CM = \left\{A\right\}</math>. Atunci triunghiul <math>ABC</math> este echilateral. Notăm <math>AB=a > 0</math>. Deoarece <math>CD</math> este înălțime a triunghiului echilateral <math>ABC</math>, rezultă că <math>CD</math> este și bisectoare a <math>\sphericalangle ACB</math>. Se arată ușor că <math>BE= \frac{a}{4}</math>, deci <math>EC= \frac{3a}{4}</math>. Din triunghiul dreptunghic <math>CEM</math> rezultă că <math>EC = \frac{MC}{2}</math>, așadar <math>CM= \frac{3a}{2}</math>.